1. 取整函数

$$r=\lfloor r\rfloor +\{r\}, \lfloor r\rfloor\in Z,\{r\}\in [0,1)$$

$$r = \lceil r\rceil-c,\lceil r\rceil\in Z,c\in [0,1)$$

几个不等式：

插入/删除取整号

1. $r<n\iff \lfloor r\rfloor < n$
   证明：
   

   $$r<n\iff n-\lfloor r\rfloor>\{r\}\ge 0\iff \lfloor r\rfloor<n$$
   同理有：
   $$r > n \iff \lceil r\rceil>n$$

2. $r\le n\iff \lceil r\rceil\le n$
   证明:
   

   $$r\le n\iff \lceil r\rceil-c\le n\iff \lceil r\rceil-n\le c<1\\\iff \lceil r\rceil<n+1\iff \lceil r\rceil\le n$$
   同理有：
   $$r\ge n\iff\lfloor r\rfloor\ge n$$

整除边界值

$$\left\lfloor \frac p i\right\rfloor=\left\lfloor \frac p k\right\rfloor\Rightarrow k\le \left\lfloor \frac p {\left\lfloor \frac p i\right\rfloor}\right\rfloor$$

证明：

由于：

$$\frac p {i} = \biggl\lfloor\frac p {i}\biggr\rfloor+c_1\\ \frac p {k}=\biggl\lfloor\frac p {k}\biggr\rfloor+c_2$$

满足$c\in[0,1)$，联立以上若干式，可得：

$$0\le \frac p {k}-\biggl\lfloor\frac p {i}\biggr\rfloor<1$$

满足：

$$k\le \frac p {\biggl\lfloor\frac p {i}\biggr\rfloor}\iff k\le \left\lfloor \frac p {\left\lfloor \frac p i\right\rfloor}\right\rfloor$$