竞赛社的礼物

1. 有两个人$A, B$玩一个游戏，给定一个$1\times 8$的棋盘，每个格子上放着黑子或白子，且是任意的（一开始他们都不知道棋盘每格摆着什么）。$A, B$在进行充分的交♂流后，$A$被告知一个$\{0,1,\dots, 7\}$中的数，由$A$查看棋盘，并可以翻动至多一个位置的棋子（黑变白或白变黑）。之后$B$再查看棋盘。问是否存在一种策略，可以保证$B$总是可以正确的说出$A$被告知的数字。

2. $a, b, c\in R^+$，求证：$1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2$

3. 有一个无穷电阻网络如图，求$AB$间的电阻。

4. 若$a_n=4n+1$，求证$\{a_n\}$中有无穷多个素数。

5. 求$2^{2^{2^{2^{\dots}}}} \mod 17$。$\ mod\ $为求余数运算，例如$13\mod 4 = 1$。提示，欧拉定理：对于任意正整数$a, P$，$a^{\varphi(P)}\mod P=1$。$\varphi(P)$为小于$P$且与$P$互质的数的个数，例如$\varphi(17) = 16, \varphi(16) = 8$。

6. 有一个可以指示物体轻重的天平，现有$12$个外观完全相同的球，其中一个是次品，质量与其他球不同，称$3$次能否分辨出次品？若有$13$个球呢？$14$个呢？若能称$4$次，至多能分辨出多少个球中的次品？

7. 如图，点$H$为$\Delta ABC$的垂心，以$AB$为直径的圆$O_1$和$\Delta BHC$的外接圆$O_2$两交于点$D$。延长$AD$交$CH$于$P$，求证：$PH=PC$。

8. 在一个$2017\times 2017$的棋盘上，某个位置有一个坦克。现在有一个不知坦克位置的炮♂手，一次可以攻♂击任何一个格子。坦克需要攻击两次才能摧毁。当坦克被攻击一次后，将向上下左右某个方向移动一格。问至少需要打几炮才能保证摧毁坦克。

9. $f(x)=ax^2+bx+c$且对于任意的$x\in [-1, 1]$，有$f(x)\in [-1, 1]$，求$a+3b$的最大值。

10. 使用作图法结合几何知识，证明：在凸透镜成像中，$\frac 1 v+\frac 1 u = \frac 1 f$。其中$u, v$分别为物距、像距，$f$为焦距。