草稿

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如果证：

$$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\dots+n}}} < 2 \dots (0)$$

只需证：

$$\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4+\dots n}}} < 3 \dots (1)$$

只需证：

$$\sqrt{3+\sqrt{4+\sqrt{5+\dots n}}} < 7 \dots (2)$$

设：$f(0)=2, f(n) = f^2(n-1)-n$，显然第$n$个右侧的数字就是$f(n)$。因此只需要证明，对于任意的$n, f(n)>0$。

考虑用归纳法。归纳的内容是，对于所有的正整数$n$，$f(n)>0, f(n)-f(n-1)\ge 1$。用第二数学归纳法。

1. 当$x = 1$时，显然成立
2. 对于所有的$x\le n$，该命题都成立，需要证明当$x = n+1$时成立。我们考虑：

$$f(n)=f^2(n-1)-n\\f(n+1) = f^2(n)-n-1$$

两式相减并整理，得到：

$$f(n+1)-f(n)=(f(n)+f(n-1))(f(n)-f(n-1))-1$$

根据归纳假设，$f(n)-f(n-1)\ge 1$，由于$f(n),f(n-1)$都为正整数，$f(n)+f(n-1)\ge 2$，所以：

$$f(n+1)-f(n)\ge 2\times 1-1 = 1$$

又有$f(n)>0$所以$f(n+1)=f(n)+1>0$。所以可以证明，$f(n+1)>0, f(n+1)-f(n)\ge 1$。根据归纳原理，对于任意的正整数$n$，都有$f(n)>0$，因此原命题得证。