微分方程

数学

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1. 可分离变量的微分方程
2. 变量替换
3. 正规方程
4. *拉普拉斯变换

$$\frac{dy}{dx} = g(x)$$

$$\frac{dy}{dx} = f(\frac y x)$$

$$f(x) + g(x) \frac{dy}{dx} = 0$$

$$\int dy = \int x^2dx \Rightarrow y = 1/3x^3+c$$

$$\frac{dy}{dx} = (\frac{y}{x})^2+\frac{y}{x}$$

$$z = y/x, \frac{d(xz)}{dx} = g(y/x)$$

$$(xdz+zdx)/dx = g(y/x)$$

$$x dz/dx + z = g(z)$$

$$g(z) - z = x dz/dx \\ \Rightarrow \frac{1}{(g(z)-z)} dz = \frac{1}{x} dx$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x^2}, \frac{d(xz)}{dx} = z^2$$

$$xdz = (z^2-z) dx$$

$$\frac{1}{x} dx = \frac{1}{z^2-z} dz$$

$$\ln x+c = \frac{1}{z(z-1)}dz = (\frac{1}{z-1} - \frac{1}{z})dz$$

$$\ln x = \ln((z-1)/z)+c$$

$$x = c(z-1)/z$$

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要求：

$$(y+\frac{e^x}{x})-\frac{dy}{dx} = 0$$

即:

$$M(x, y) + N(x, y)\frac{dy}{dx} = 0$$

考虑链式法则：

$$\Psi(x, y), \frac{d\Psi}{dx} = \frac{\partial \Psi}{\partial x} + \frac{\partial \Psi}{\partial y} \frac{dy}{dx}$$

例如:

$$\Psi(x, y) = x+y^2, \frac{\partial \Psi}{\partial x} = 1, \frac{\partial \Psi}{\partial y} = 2y$$

$$\Psi(x, y), \Psi_x = M, \Psi_y = N$$

注意到：

$$\Psi_{xy} = \Psi_{yx}$$

$$xy^2 -> y^2 -> 2y$$

$$xy^2 -> 2xy -> 2y$$

如果有：$\Psi_x = M, \Psi_y = N$

就应当有：

$$M_y = N_x$$

让我们检验原式：

$$M(x, y) = y+\frac{e^x}{x}, N(x, y) = -1$$

考虑在两边乘一个“积分因子”，其可能是$x, y, x\ and\ y$的函数：

$$\mu(x), \mu(y), \mu(x, y)$$

让我们先尝试$\mu(x)$：

$$(\mu(x) M)_y = (\mu(x) N)_x$$

进行简单的计算：

$$\mu M_y= \mu' N + \mu N_x$$

$$\mu = -\mu', \frac{d\mu}{dx} = -\mu, -\frac{1}{\mu} d\mu = dx$$

得到：

$$\ln \mu = -x, \mu = e^{-x}$$

两边乘积分因子：

$$(y+\frac{e^x}{x})e^{-x} - e^{-x} \frac{dy}{dx} = 0$$

即:

$$M' + N'\frac{dy}{dx} = 0, \Psi_x = M', \Psi_y = N'$$

使用$\Psi_y = N'$：

$$d\Psi = N' dy, \Psi = -e^{-x} y + c(x)$$

接下来我们求解$c(x)$，利用另一个关系$\Psi_x = M'$：

$$\Psi_x = ye^{-x} + c'(x) = (y+\frac{e^x}{x})e^{-x}$$

解得：

$$\frac{dc}{dx} = \frac{1}{x}, c(x) = \ln x + c_1$$

$$\Psi = -e^{-x}y + \ln x + c_1$$

我们终于得到：

$$\Psi_x = M', \Psi_y = N', M'+N'\frac{dy}{dx} = 0$$

那么：

$$\frac{d\Psi}{dx} = 0$$

$$\Psi = c_2$$

$$-e^{-x}y + \ln x + c_3 = 0$$

即：

$$y = (\ln x + c_3)e^{x}$$