@ljt12138 2017-03-28T23:44:02.000000Z 字数 564 阅读 856

一道轻松的练习题

求

f (n) = \sum 0 \leq k < n H k ( k + 1 ) ( k + 2 )

$f(n) = \sum_{0\le k < n} \frac {H_k} {(k+1)(k+2)}$

的封闭形式。

Solution

利用裂项转化：

f (n) = \sum 0 \leq k < n H k (1 k + 1 - 1 k + 2)

$f(n) = \sum_{0\le k < n} H_k(\frac 1 {k+1}-\frac 1 {k+2})$

注意到：

- Δ 2 (H k) = 1 k + 1 - 1 k + 2

$-\Delta^2(H_k) = \frac 1 {k+1}-\frac 1 {k+2}$

则只要求不定和式

- \sum H k Δ 2 (H k)

$-\sum H_k \Delta^2(H_k)$

利用分部求和公式：

- (H k Δ H k - \sum Δ (H k + 1) Δ (H k))

$-(H_k\Delta H_k-\sum \Delta(H_{k+1})\Delta(H_k))$

化简后得到

- (H k k + 1 - \sum 1 ( k + 1 ) ( k + 2 ))

$-\left(\frac {H_k} {k+1}-\sum \frac 1 {(k+1)(k+2)}\right)$

用阶乘幂表示并化简

- H k + 1 k + 1

$-\frac {H_k+1} {k+1}$

根据有限微积分基本定理：

f (n) = g (n) - g (0) = k - H k k + 1

$f(n) = g(n)-g(0) = \frac {k-H_k} {k+1}$

突然感觉具体数学上的技术还是非常好用的【当然可能是这个题恰好好用】...

来源：《具体数学》