一道狄利克雷卷积模板题的组合做法

---

题目描述：

给定$f(x)$在$[1, n]$上的取值，求函数：

$$g(x)=\sum_{i_1|x}\sum_{i_2|i_1}\dots\sum_{i_K|i_{K-1}}f(i_K)$$

在$[1, n]$上的取值。

狄利克雷卷积做法

容易发现，$g=1^k\times f$，直接用狄利克雷卷积快速幂即可。

组合做法

显然，$p$的所有因子在整除关系$|$下构成一个偏序，可以等价地转化为一张带自环而无其他环的图。则从$i_1 = p$开始的序列$i_1, i_2,\dots,i_k$与有向无环图上从$p$开始长度为$k$的路径一一对应。

考虑求从$p$开始长度为$k$的路径所有终点位置的和$h[p][k]$，容易写出方程：

$$h[p][k]=\sum_{i|p}h[i][k-1]\\h[p][1] = dat[p]$$

然而这个dp的状态规模是$O(n^2)$的，考虑原因：存在很长的链是因为可以多次在一个数上重复（即在自环上走）。设$H[p][k]$为长度为从$p$开始长度为$k$的所有不经过自环的终点位置的和，则：

$$H[p][k]=\sum_{i|p, i<p}H[i][k]$$

显然$k\le \lg K$，现在向路径上插入自环。考虑$H[n][p]$对$h[n][K]$的贡献，$p\le K$。需要在$p$个位置上插入$K-p$个自环，用隔板法分析可知为：${p+(K-p)-1\choose p-1} = {K-1\choose p-1}$，因此：

$$h[n][K] = \sum_p H[n][p]{K-1\choose p-1}$$

而答案$g(n)$等于$n$的所有因子的$h[n][K]$的和，即：

$$g(n) = \sum_{i|n}h[i][K]$$

自此问题得以解决。复杂度$O(n\lg^2 n)$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 100005;
struct node {
    int to, next;
} edge[MAXN*20];
int head[MAXN], top = 0; 
inline void push(int i, int j)
{ edge[++top] = (node){j, head[i]}, head[i] = top; }
int n, k;
void init()
{
    for (register int i = 1; i <= 100000; i++)
        for (register int j = 2; j*i <= 100000; j++)
            push(j*i, i);
}
long long f[MAXN][20], a[MAXN];
const long long mod = 1000000007ll;
long long fac[MAXN], inv[MAXN], g[MAXN], g2[MAXN];
long long power(int a, long long n)
{
    if (n == 0) return 1;
    long long b = a, ans = 1;
    for (int k = 0; k <= 30; k++) {
        if (n&(1ll<<k)) (ans *= b) %= mod;
        (b *= b) %= mod;
    }
    return ans;
}
inline long long choose(int K, int k)
{ return fac[K]*inv[k]%mod*inv[K-k]%mod; }
void init_c()
{   
    inv[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 100000; i++) inv[i] = (inv[i-1]*power(i, mod-2))%mod;
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 100000; i++) (fac[i] = fac[i-1]*i) %= mod;
}
void dp()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &f[i][1]);
    for (int j = 2; j <= 17; j++)
        for (register int i = 1; i <= n; i++) {
            f[i][j] = 0;
            for (register int k = head[i]; k; k = edge[k].next) {
                int to = edge[k].to;
                (f[i][j] += f[to][j-1]) %= mod;
            }
        }
    for (register int i = 1; i <= n; i++) {
        long long ans = 0;
        for (register int j = 1; j <= 17; j++)
            (ans += f[i][j]*choose(k-1, j-1)%mod) %= mod;
        g[i] = ans;
    }// cerr << endl;
    memset(g2, 0, sizeof g2);
    for (register int i = 1; i <= n; i++) 
        for (register int j = 1; j*i <= n; j++)
            (g2[j*i] += g[i]) %= mod;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%lld ", g2[i]);
    puts("");
}
int main()
{
    freopen("b.in", "r" , stdin);
    freopen("b.out", "w", stdout);
    init();
    init_c();
    int T; scanf("%d", &T);
    while (T--) dp();
    return 0;
}