No.13

摘要

波动方程由麦克斯韦方程组导出的、描述电磁场波动特征的一组微分方程，是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。本次作业主要研究一维行波的运动情况。

背景

一维波动方程$\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2}$
将$x用i\Delta x$来表示，$t用n\Delta t$来表示。固定绳两端的位置为0，
再通过一系列的求解可以得到算式$y(i,n+1)=2[1-r^2]y(i,n)-y(i,n-1)+r^2[y(i+1,n)+y(i-1,n)]$
$y(0,n)=y(M,n)=0$ , $r=c\Delta t/\Delta x$
在t=0时给一个微小的扰动 $y_0=exp[-k(x-x_0)^2]$ 即可进行求解。

正文

• 微扰下的波的传播
• 初始位置一定，初始速度为零时的波动图

• 初始位置为零，初始速度为1时的波动图

• 然后是弦上的波的power spectrum。当在上文的弦的中心位置加上高斯型的扰动后，距离x=0处端点距离为弦长的5%的点的振动大小随时间的变化情况为：
  相应的power spectrum为
  
  power spectrum上当频率为150Hz的奇数倍时有峰值。
  当扰动施加处稍稍偏离中心时，power spectrum为
  由图可见峰值依然在150Hz的整数倍附近。

• 当信号波为三角波时,当三角形的上顶角对应的位置为弦的中心时，信号为
  
  频率谱上的峰值随频率的增加而减小。

致谢

power spectrum部分参考了13级吴雨桥学长的代码。