No.9

摘要

现实生活中，台球作为一种常见的消遣活动，因其娱乐方式很简单，几乎所有的朋友都接触过这种运动。台球发展到今天有了各种各样的规则和打法，其中库解球有比较简单的物理原理，可通过编程实现模拟

背景

球在台桌上运动时，未触壁时一直匀速运动，触壁时速度的方向发生改变但大小不变。
$\vec{v}_{i,\bot}=(\vec{v}_i \cdot \hat{n})\hat{n}$
$\vec{v}_{i,\mid\mid}=\vec{v}_i- \vec{v}_{i,\bot}$
$\vec{v}_{f,\bot}=-v_{i,\bot}$
$\vec{v}_{i,\mid\mid}=v_{i,\mid\mid}$
可通过编程实现碰撞

正文

• 当桌面为圆形，小球在圆内运动轨迹如图
  
  这分别是t=50s，t=100s，t=250s所对应的图像。起始位置为（0.1,0），起始速度为（-0.3,0.2）

• 当桌面为正方形。正中内置一个圆形壁所对应的轨迹为
  
  分别是t=50s，t=100s，t=400s所对应的图像。起始位置为（1.5,1.5），起始速度为（0.3,0.2）
  但是当t增大到某一值时轨迹开始出现偏差
  相对应的部分程序为

  def run(self):
  _time=0
  while(_time<self.time):
      length=math.sqrt(self.x[-1]**2+self.y[-1]**2)
      if length<=1.0:
          if self.y[-1]<=0 and self.x[-1]<0:
              theta1=math.atan(self.y[-1]/self.x[-1])
              theta2=math.atan(self.vy[-1]/self.vx[-1])
              theta3=2*theta1-theta2
              v=math.sqrt(self.vx[-1]**2+self.vy[-1]**2)
              self.vx.append(-v*math.cos(theta3))
              self.vy.append(-v*math.sin(theta3))
              self.x.append(self.x[-1]+self.vx[-1]*self.dt)
              self.y.append(self.y[-1]+self.vy[-1]*self.dt)
              _time=_time+self.dt
          elif self.y[-1]<=0 and self.x[-1]>0:
              theta1=math.atan(self.y[-1]/self.x[-1])
              theta2=math.atan(self.vy[-1]/self.vx[-1])
              theta3=2*theta1-theta2
              v=math.sqrt(self.vx[-1]**2+self.vy[-1]**2)
              self.vx.append(v*math.cos(theta3))
              self.vy.append(v*math.sin(theta3))
              self.x.append(self.x[-1]+self.vx[-1]*self.dt)
              self.y.append(self.y[-1]+self.vy[-1]*self.dt)
              _time=_time+self.dt
          else:
              if self.x[-1]<=0:
                  theta1=math.atan(self.x[-1]/self.y[-1])
                  theta2=math.atan(self.vx[-1]/self.vy[-1])
                  theta3=2*theta1-theta2
                  v=math.sqrt(self.vx[-1]**2+self.vy[-1]**2)
                  self.vx.append(v*math.sin(theta3))
                  self.vy.append(v*math.cos(theta3))
                  self.x.append(self.x[-1]+self.vx[-1]*self.dt)
                  self.y.append(self.y[-1]+self.vy[-1]*self.dt)
                  _time=_time+self.dt
              else:
                  theta1=math.atan(self.x[-1]/self.y[-1])
                  theta2=math.atan(self.vx[-1]/self.vy[-1])
                  theta3=2*theta1-theta2
                  v=math.sqrt(self.vx[-1]**2+self.vy[-1]**2)
                  self.vx.append(v*math.sin(theta3))
                  self.vy.append(v*math.cos(theta3))
                  self.x.append(self.x[-1]+self.vx[-1]*self.dt)
                  self.y.append(self.y[-1]+self.vy[-1]*self.dt)
                  _time=_time+self.dt
      else :
          if self.y[-1]>2 or self.y[-1]<-2:
              self.vx.append(self.vx[-1])
              self.vy.append(-self.vy[-1])
              self.x.append(self.x[-1]+self.vx[-1]*self.dt)
              self.y.append(self.y[-1]+self.vy[-1]*self.dt)
              _time=_time+self.dt
          elif self.x[-1]>2 or self.x[-1]<-2:
              self.vx.append(-self.vx[-1])
              self.vy.append(self.vy[-1])
              self.x.append(self.x[-1]+self.vx[-1]*self.dt)
              self.y.append(self.y[-1]+self.vy[-1]*self.dt)
              _time=_time+self.dt
          else:
              self.x.append(self.x[-1]+self.vx[-1]*self.dt)
              self.y.append(self.y[-1]+self.vy[-1]*self.dt)
              self.vx.append(self.vx[-1])
              self.vy.append(self.vy[-1])
              _time=_time+self.dt
  

相对应的vpython动图为

• 当圆沿横向拉长$2\alpha r$时，绘图发生相应改变。
  
  这是$\alpha=0.1$的对应图，编程得到的图像与书上给出的图相差较大，另外初始位置改变对图像影响很大，在某些特定的边界点会射出，程序还需要改进。

结论

致谢

vpython程序参考于2013级学长吴雨桥