No.10

摘要

天体在万有引力的作用下产生了天体运动的公转和自传，包括银河系在内的诸多星系除去自转外还要围绕宇宙中心做公转运动。
太阳系中行星的运动主要是由于与太阳间的引力作用。$F=\frac{GM_1M_2}{R^2}$
实际运动中$F=\frac{GM_1M_2}{R^{2+\delta}}$,再由于质量、半径等原因，八大行星绕太阳运动的轨迹和周期相差较大。这些都可通过欧拉法进行模拟从而获得轨迹图。

通过这些数据可以进行模拟

背景

$F_G=\frac{GM_SM_E}{r^2}$
天体运动方程有$\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{F_{G,x}}{M_E}, \frac{d^2y}{dt^2}=\frac{F_{G,y}}{M_E}$
进而得到一阶方程$\frac{dv_x}{dt}=-\frac{GM_Sx}{r^3},\frac{dx}{dt}=v_x$
$\frac{dv_y}{dt}=-\frac{GM_Sy}{r^3},\frac{dy}{dt}=v_y$
相应的编程语句为$r_i=(x^2_i+y^2_i)^{1/2}$
$v_{x,i+1}=v_{x.i}-\frac{4\pi x_i}{r_i^3}\Delta t$， $v_{y,i+1}=v_{y.i}-\frac{4\pi y_i}{r_i^3}\Delta t$
$x_{i+1}=x_i+v_{x.i+1}\Delta t$,$y_{i+1}=y_i+v_{y.i+1}\Delta t$

正文

• $\beta=2$，轨道形状与初速度相关 如下
• 改变$\beta$的取值，初速度为$1.5\pi$,起始位置为（1,0）
  可以看到$\beta$的变化越大椭圆轨道逐渐散开。
• 水星的进动：$F_G\approx\frac{GM_SM_M}{r^2}(1+\frac{\alpha}{r^2})$
• 由水星的离心率、质量等可计算出水星在远日点的速度$v=8.2AU/yr$,远日点到太阳的距离为0.47AU。水星的进动模拟图
• 远日点极角的变化在不同a取值下与时间的关系
• a分别取0.0016、0.0008、0.0004、0.0002a由上至下减小。

• 最后得到$\frac{d\theta}{dt}和\alpha$间的关系

• 多种天体运动模拟示意图
  
  以上为行星绕恒星运转，轨迹因为初速度改变发生极大变化。
  
  左为太阳系模拟，即单恒星多行星。右为一颗行星，两颗恒星。
  
  左为一颗行星，两颗恒星。右为一个恒星三个行星，轨迹混乱。

以上图形均可通过一款游戏模拟：http://testtubegames.com/gravity.html

附上简单的动态图

结论

水星远日点的极角随时间的变化是线性的，相应的$\frac{d\theta}{dt}和\alpha$之间的关系也是线性的。