No.12

摘要

无源空间的引力场、静电场、稳定的温度分布等问题都满足拉普拉斯(Laplace)方程$\nabla ^2\Phi=0$
但由于此方程是偏微分方程,只有在问题具有高度对称的情况下,才能求出解析解,而这种情形是极少的。有些情形看上去很简单,但却求不出解析解。对于这些情况,只能寻求数值解。

背景

拉普拉斯方程有多种不同的形式

其求解可通过迭代进行，迭代可有多种方法，其一为Jacobi法$V_{new}(i,j)=\frac{1}{4}[V_{old}(i+1,j)+V_{old}(i-1,j)+V_{old}(i,j+1)+V_{old}(i,j-1))]$
其二为Gauss-Seidel方法$V_{new}(i,j)=\frac{1}{4}[V_{new}(i+1,j)+V_{new}(i-1,j)+V_{new}(i,j+1)+V_{new}(i,j-1))]$

正文

• 所求的势场为
  势场分布为
  平面图

• 势场中部为V=1的平台，外围边界V=0
  
  平面图

• 空间中存在单个或多个带电粒子时的电场分布
  单个正电粒子
  单个负电粒子
  电偶极子
  三个带电粒子

• 另外一些奇奇怪怪的东西