改进的模糊层次分析法

模糊层次分析法 运筹学

---

这是以前数学建模比赛所用到的其中一种方法，这里再做一个分享。

传统的层次分析法

人们在每天的生活中总是会经常遇到许多的决策问题：例如买一件休闲裤，你是要白色的，还是黑色的，棉的，还是涤纶的等等，这些你都需要作出满意的决策。而我们在解决这些情况的时候，需要考虑很多的因素，对这些大大小小的因素进行比较，然后才能作出合理决策，这就提出来了本来需要应用的层次分析法。层次分析法的大概思路就是把跟决策一直相关的这些因素选出来，然后把它进行分类，通常分成目标、准则和方案这三个层次，然后在这个原则之上作出定量和定性相互结合的决策分析。

传统的层次分析法大致有这么几个基本步骤：首先需要构造判断矩阵，接着是计算权重向量，最后是一致性检验。它的好处是分析方法比较有系统性、决策分析方法非常有用、定量数据信息需要的比较少等。但是缺陷也很明显，主要有不能够提出新的计划给决策、而且定性的成分比较多，定量数据信息相对就比较少了，所以不容易使人信服，并且得到的权重不太容易确定。这些缺点在很大程度上影响着传统的层次分析法的应用空间。

总结起来简单来说就是：主观性比较强(九标度法打分)，计算相对复杂，并且精度不高，并且需要进行一致性检验。

于是这里介绍一种改进的模糊层次分析法，采用三标度方法，大大减少了计算量，引入模糊一致性矩阵，这样就不用一致性检验，并且采用特征值法进行迭代，
在很大程度上提高了权重向量进行迭代的收敛速度和计算精度，而且是合理有效的。

改进的模糊层次分析法

首先通过公式把得到的互反型判断矩阵变为模糊一致性判断矩阵，然后采用和向量归一法求得排序向量的初值，最后是利用特征值法对排序向量进行迭代，这就提出了改进的模糊层次分析法。

改进的模糊层次分析法是采用区别于传统的层次分析法的三标度法，这样我们就可以很容易对任意两个因素得出谁比谁重要的结果。并且以此得出来的判断矩阵就是模糊一致性判断矩阵，该矩阵满足一致性的条件，所以就不再需要进行一致性检验，这种方法更加易于理解。后面采用上述几种方法求来的排序向量作为迭代初值，可以极大地提升迭代法的收敛速度，并且会更大程度上的减少迭代的次数。最后得到的结果符合计算精度的要求，这就为方案决策提供了一个更加稳定可信的方法。具体步骤如下：

建立优先关系判断矩阵

$$f_{ij} = \begin{cases}0,\quad D(i)差于D(j) \\ 0.5,\quad D(i)等于D(j) \\1, \quad D(i)优于D(j) \end{cases}$$

首先建立互补型的优先关系判断矩阵$F=(f_{ij})_{n*n}$，式中：$D(i)$与$D(j)$的相对重要性程度的比较就是其对应的指标$f(i)$与$f(j)$的相对重要性程度。

模糊一致矩阵的求法

首先把优先判断矩阵$F=(f_{ij})_{n*n}$通过公式进一步转化为模糊一致性判断矩阵$Q=(q_{ij})_{n*n}$具体的公式如下所示：

$$\begin{split} q_i &= \sum_{j=1}^n f_{ij} \quad i=1,2,...n \\ q_{ij} &= (q_i - q_j) / 2n +0.5 \quad i=1, 2,...n\end{split}$$

和行归一法得到排序向量

接下来我们用和行归一法得到排序向量的初值，具体步骤如下：

迭代求得权重向量

上面求得了排序向量初值，为了满足较高精度的要求，本文接下来采用特征
值法进行迭代精度计算。首先将互补型判断矩阵$Q=(q_{ij})_{n*n}$通过转化公式：

$$e(ij) = q_{ij}/q_{ji}$$
化为互反型判断矩阵$E=(e_{ij})_{n*n}$。然后$W^{(0)}$作为特征值法迭代初值$P_o = (P_{o1},P_{o2},...,P_{on})^T$,进而可以求出更精度的$W^{(i)}$。
具体步骤如下：

经过几次迭代收敛后输出的就是最终的权重向量，准则层的权重向量通过这种方法来求得，方案层同样如此，与层次分析法类似。