第十一次作业：行星运动

臧之昊 2013301020056

1、背景

由太阳和地球组成的系统之间由万有引力相互联系，地球绕太阳转动，且太阳的质量比地球的质量要大得多： $$F_G=\frac{GM_SM_E}{r^2}$$

为了求出地球运动的轨迹，我们需要如下四个微分方程： $$\frac{{\rm d}v_x}{{\rm d}t}=-\frac{GM_Sx}{r^3}$$ $$\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=v_x$$ $$\frac{{\rm d}v_y}{{\rm d}t}=-\frac{GM_Sy}{r^3}$$ $$\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}=v_y$$ 运用Euler方法就可得到其轨道图形。

我们考虑两者质量相当时，两体问题可以看作是一体问题，约化后的物体质量是约化质量大小$\mu==\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$，物体位置由原来物体相对位置决定$\vec{r}=\vec{r_2}-\vec{r_1}$,约化质量$\mu$在极坐标下的轨迹方程为： $$\frac{d^2}{d\theta^2}(\frac 1r)+\frac 1r=-\frac{\mu r^2}{L^2}F(r)$$ 由于$F(r)$与$r^{-2}$成正比，轨迹是可以直接求解的： $$r=(\frac{L^2}{\mu GM_sM_P})\frac{1}{1-ecos\theta}$$ 考虑一下普遍的万有引力公式： $$F_G=\frac{GM_sM_P}{r^\beta}$$ 当$\beta\not=2$时，轨迹是不稳定的，我们来讨论一下这时的情况。

2、正文

1）讨论不同$\beta$值情况下运动的轨迹：

可以看出，当$\beta$偏离$2$越大，轨迹就越容易变得不稳定。

2）固定$\beta=2.05$,改变离心率的大小，比较轨迹：离心率不为$0$时，会发生进动，轨迹是不闭合的椭圆，随着离心率的增大，进动率也会增大。

3、总结

本次作业主要探讨了不同$\beta$值下行星轨迹运动的不同以及不同离心率时行星轨迹的不同。当$\beta=2$时，轨迹是稳定的；当$\beta\not=2$时，轨迹不闭合，随着离心率增加，进动越大。

4、致谢

感谢钟惠舟同学。