第八次作业

臧之昊 2013301020056

1、背景

单摆模型经常被我们抽象为线性的，振动幅度很小的简谐运动，然而真实情况却并非无此，真实运动中的单摆在运动时会有摩擦力以及内在驱动力的存在，这时单摆的运动还是线性的，；当其蔗农幅度较大的时候，它的运动会变成非线性的。

2、正文

当单摆的运动是线性的时候，它的运动方程由如下线性微分方程决定： $$\frac{{\rm d^2}\theta}{{\rm d}t^2}=-\frac gl\theta-q\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d }t}+F_Dsin(\Omega_Dt)$$

当单摆的幅度比较大时，$sin\theta$不能近似等于$\theta$,所以它的运动由如下非线性方程决定（不考虑摩擦力及内在驱动力）： $$\frac{{\rm d^2}\theta}{{\rm d}t^2}=-\frac glsin\theta$$

这次如果使用Euler法，则有： $$\omega_{i+1}=\omega_i-\frac gl\theta_i\Delta t$$ $$\theta_{i+1}=\theta_i+\omega_i\Delta t$$ $$t_{i+1}=t_i+\Delta t$$

如果使用Euler-Cromer法，则有： $$\omega_{i+1}=\omega_i-\frac gl\theta_i\Delta t$$ $$\theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\Delta t$$ $$t_{i+1}=t_i+\Delta t$$

运用程序计算这两种情况下理想单摆的情形，有下图：

可以看出，Euler-Cromer法更接近真实解的情况，因此我们采用此方法进行接下来的计算。

1）考虑驱动摆

取摆长$l=1，g=9.8,q=1$,$\omega_0=0rad/s$,初始角度为$\theta_0=1^\circ$.

先令$\Omega_D=2.0$,$F_D$分别等于0.2,0.6,1.0，有如下图像：

然后令$F_D=0.2$,$\Omega_D$分别等于1.0,2.0,3.0，有如下图像：

3、总结

由图中可以看出单摆一开始的周期和振幅并不固定，当经过较长时间的演化之后，会有一个固定的周期和振幅，而且由两次不同的实验条件可以看出共振幅度确实与$\Omega_D$与$F_D$有关。

4、致谢

感谢钟惠舟同学的报告。