第九次作业：混沌效应

臧之昊 2013301020056

1、背景

混沌效应发生在物理摆中，它与驱动摆的不同就是，它不再考虑小角度近似，因此物理摆的运动方程为以下形式： $$\frac{{\rm d^2}\theta}{{\rm d}t^2}=-\frac glsin\theta-q\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d }t}+F_Dsin(\Omega_Dt)$$

我们称这种模型是非线性的，衰减的驱动摆，也就是物理摆。它蕴含了非常多并且非常有意思的物理现象，但是，为了求解这个方程，我们必须做一点变动，我们把这个方程写成两个一阶常微分方程： $$\frac{{\rm d}\omega}{{\rm d}t}=-\frac glsin\theta-q\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d }t}+F_Dsin(\Omega_Dt)$$ $$\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}=\omega$$

然后我们就可以运用Euler-Cromer法，进行计算： $$\omega_{i+1}=\omega_i-[\frac glsin\theta_i-q\omega_i+F_Dsin(\Omega_Dt_i)]\Delta t$$ $$\theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\Delta t$$ $$t_{i+1}=t_i+\Delta t$$

2、正文

1）我们先看一下不同$F_D$的值时物理摆的情况：

可以看出，$F_D=0$时，摆很快趋近于静止；$F_D=0.5$时，摆会进入稳定运行状态；$F_D=1.2$时，摆的运动毫无规律，这就是混沌现象。

2）从另一个角度，假设有两个一模一样的摆，具有相同的长度及阻尼系数。它们唯一的区别在于摆的初始角度不一样。假设两摆初始角度相差$0.001rad$，得到$\Delta\theta=|\theta_1-\theta_2|$与时间的关系曲线：

当$F_D=0.5$时，图形依然很有规律；然而当$F_D=1.2$时，图形又杂乱无章。

3）我们再看一下$\omega-\theta$的曲线关系：

$F_D=0.5$时，图形最后接近于一个椭圆；当$F_D=1.2$时，出现混沌效应。当我们仅考虑$\Omega_Dt=2\pi n$时的点，有如下图形：

3、总结

本文讨论了混沌效应的产生情况，并且对其不同的性质进行了讨论，发现其对于初始条件比较敏感，也揭示了其不可预测性的来源。

4、致谢

感谢钟惠舟同学的程序。