第五次作业：人口增长模型

1、背景

人口数量N随时间的关系N(t)常由以下常微分方程决定： $$\frac{{\rm d}N}{{\rm d}t}=aN-bN^2$$ 这里的第一项aN对应的是新出生的人口，而第二项$-bN^2$对应的是死亡的人口。死亡的一项与$N^2$成正比是为了解释当人口数量N增加，食物会变得更难寻找这个事实。

2、正文

下面运用pyhon程序人口模型分三步分析这个问题。

1）N(0)=100,a=1,b=0时，运用Euler算法，可得到如下的N~t关系：

对应于它的理论值解：$N(t)=100e^t$.

2）N(0)=100,a=10,b=3时，可得到如下的N~t关系：

即对于较小的初始值，$\frac ab$不是很大时，N(t)会下降得很快，这是由于死亡率起较大作用，但不会趋近于0。

3）N(0)=1000,a=10,b=0.01时，可得到如下的N~t关系：

可以看出，此时，N会急剧增长，这是由于对于较大的初始值，$\frac ab$比较大时，出生率起主要作用，因此人口增长较快， 但会趋近于一个定值1000.

3、结论

当$b=0$时，人口数量只会增长，与时间成指数关系。

当$b\neq0$时，人口数量随时间变化关系与$\frac ab$的值有关系。