第六次作业：炮弹的轨迹

臧之昊 2013301020056

1、背景

从地面以一定角度$\theta$以一定初速度$v_0$发射，其轨迹一定是一条抛物线，这是可以由其竖直与水平方向的运动方程可以算出来的。可是，一旦考虑了空气阻力和空气密度随高度的变化之后，结果就会有些不同。

当考虑了空气阻力之后，炮弹运动距离会减小；当考虑了空气密度随高度变化之后，炮弹运动距离会增加，我们的目的就是找出使炮弹运动距离最远的发射角度。

2、正文

1）首先，先计算理想状态下不同角度下的炮弹轨迹,有$v_x=v_0cos\theta,v_y=v_0sin\theta-gt$,消去t，既可以得到一条轨迹为抛物线的方程，并且求得使得水平方向运动距离最远的角度$\theta$为$45^\circ$。运用Euler算法理想炮弹轨迹可以得到如下图:

可以看出，当初速度大小相同时，确实是当发射角度为$45^\circ$时，炮弹运行距离最远。

2）考虑空气阻力时，认为空气阻力大小的形式为$F_{drag}=-B_2v^2$,然后有从时间点$i$到时间点$i+1$的位移与速度的递推公式： $$x_{i+1}=x_i+v_{x,i}\Delta t$$ $$y_{i+1}=y_i+v_{y,i}\Delta t$$ $$v_{x,i+1}=v_{x,i}-\frac{B_2vv_{x,i}}{m}\Delta t$$

通过程序运算有阻力炮弹轨迹 ，可以得出如下图，实线为理想情况下的运行轨迹，虚线为考虑阻力得到的运行轨迹：

这时可以看到有阻力时相对于没有阻力的情况下，炮弹运行的距离相对减小，不过依然是$45^\circ$时运行距离最远。

3）此时考虑空气密度随海拔的变化，有密度随海拔变化的公式$\rho=\rho_0(1-\frac{ay}{T_0})^\alpha$,其中$a\approx6.5\times10^{-3}K/m$,$T_0$是水平面的温度，对于空气，$\alpha\approx2.5$,修正过后的空气阻力公式为 $$F{^\ast_{drag}}=\frac{\rho}{\rho_0}F_{drag}$$ 带入这些数值，依然使用刚才的方法考虑空气密度修正后的轨迹，可以得到如下图形：

其中实线是空气密度修正后的轨迹，虚线是空气密度修正前的轨迹，可以看出，在有空气密度修正之后，炮弹的水平运行距离确实是要增加。

3、总结

在理想情况下，炮弹的运行轨迹为抛物线；

考虑空气阻力之后，炮弹运行的水平距离相比于理想情况要减小；

考虑空气密度随海拔的变化之后，炮弹的水平距离又要增加。