百年一遇

意外的发是一个泊松过程，
意外与意外之间没有影响。

设 X 是发生意外所用的年数。这个概率密度函数是：

$f(x;\lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \ge 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases}$

大概长这样：

我们知道这样的概率分布的随机变量的期望是 $\operatorname{E}[X] = \frac{1}{\lambda}$，我们又知道期望是 100（100 年发生一次意外）。

所以这个 $\lambda$ 是 $\frac{1}{100}$。然后我们就确定了分布函数：

$f(x;\lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \ge 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases} = \begin{cases} \frac{1}{100} e^{-\frac{1}{100} x} & x \ge 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases}$

然后算一下 $\int_0^{40} f(x) dx$