homework 5

姓名：魏傲宇 学号：2015301020155
习题2.9

1.在没有空气阻力的情况下

由$g=9.8m/s^{2}$ $v_{x}=v_{0}cos\theta$ $v_{y}=v_{0}sin\theta$ $v_{y}=gt$ $x=2tv_{x}$
得到$x=\frac{(v_{0}^{2})sin2\theta }{g}$
通过上式可得在$\theta=45^{\circ}$时，在$v_{0}=700m/s$时，水平射程最大,$^{x_{max}}=50000m$,无阻力时,$v_{0}=700m/s$,画出发射角度为30°，45°，60°情况：
通过数值计算给出的结果如下面的图一所示

代码在文末
依次的得出射程为:

由表可见，误差特别小，解析解和数值解很好的吻合。
并且在30-60°之间以1°为间隔扫描，得到发射角度和水平射程的距离之间关系如图二所示
代码在文末
差为±1°的范围内可以确定最大发射角为45°

2，有空气阻力但是空气密度无变化

假设空气阻力$F_{drag}=-B_{2}{v^2{}}$
取$\frac{B^{2}}{m}=4\times 10^{-5}m^{-1}$,$v_{0}=700m/s$,$g=9.8m/s^{2}$,经验分析有最大射程应该不会偏离45°太远，所以在45°左右用二分法试探，轨迹如图三所示

代码在文末

对比数值推断可知，空气阻力对水平射程的影响很大；最大发射角在45°附近。
然后可以用扫描角度的方法在30-60°之间找一定速度情况下，使水平射程最远的抛射角度；扫描后图像为图四
代码在文末
由图可以看出最大发射角大致在39°左右

3.有空气阻力并且空气密度变化等温近似

在等温近似下，压强和高度关系表达式为：
$p(y)=p(0)e^{\frac{-mgy}{kB^{T}}}$
$\rho =\rho _{0}e^{\frac{-y}{y_{0}}}$
其中$p_{_{0}},\rho _{0}$分别为海平面的气压和空气密度,
$y_{0}=\frac{k_{B}T}{mg}\approx 1.0\times 10^{4m}$
所以空气阻力可以表示为
$F_{drag}=\frac{\rho }{\rho _{0}}F_{drag}$
此时带入公式并修改上面代码计算特殊角度的结果如下：

由数据可以看出：；最大发射角在45°附近。
然后可以用扫描角度的方法在30-59°之间找一定速度情况下，使水平射程最远的抛射角度；扫描后图像为图五
代码在文末：
由图可以看出最大发射角大致在46°左右，并且从运行代码所得数据最大发射距离约为26624.4m。
四，有空气阻力并且空气密度变化绝热近似
我们知道，温度随着高度上升逐渐下降，所以等温近似并不符合现实情况，因为 空气热导率并不高，气流对流也较慢，所以绝热近似是一个很好的选择。通过查阅资料可以得到，在绝热近似下，空气密度随高度变化为：
$\rho =\rho _{0}（1-\frac{ay}{T_{0}}）^{\alpha }$
其中$a\approx 6.5\times 10^{-3}K/m$,$T_{0}$是海平面温度，单位为K，对于空气来说，常数α≈2.5。所以空气阻力可以表示为$F_{drag}=\frac{\rho }{\rho _{0}}F_{drag}$
此时带入公式并修改上面代码计算特殊角度的结果如下：

由数据可以推断出：最大发射角在45°附近。
然后可以用扫描角度的方法在30-60°之间找一定速度情况下，使水平射程最远的抛射角度;扫描后图像为图六：
代码在文末
由图可以看出最大发射角大致在43.5°左右,因为从运行代码所得数据在43°水平射程为24519.0m，44°时水平射程为24520.6m。

4.辅助精确打击系统

在给定恒定发射速度$v_{0}=700m/s$情况下，找到给定目标坐标的最小发射速度。输入目标（300m，400m）情况下，得到结果如图七：

代码在文末

结论

由于射程收到空气阻力影响，在等温近似下最大射程下的角度比不考虑阻力时稍大，绝热近似下最大射程下的角度比不考虑阻力时稍小，但是只要考虑阻力，最大射程都比不考虑阻力时小得多。在发射时必须根据阻力情况调整发射角度。
定点打击坐标中，给定初速度，我们对于给定的目标，都可以在误差很小的范围内精确地打击目标，并且计算到炮弹飞行时间发射角度。
文中所有代码