BOSS作业(带电体在外场中运动及霍尔效应)

作业

姓名:姚逸飞
学号：2013301020096

摘要

霍尔效应（Hall effect）

霍尔效应（Hall effect）是指当固体导体放置在一个磁场内，且有电流通过时，导体内的电荷载子受到洛伦兹力而偏向一边，继而产生电压（霍尔电压）的现像。电压所引致的电场力会平衡洛伦兹力。通过霍尔电压的极性，可证实导体内部的电流是由带有负电荷的粒子（自由电子）之运动所造成。霍尔效应于1879年被埃德温·赫伯特·霍尔（Edwin Herbert Hall）发现。
除导体外，半导体也能产生霍尔效应，而且半导体的霍尔效应要强于导体。
在导体上外加与电流方向垂直的磁场，会使得导线中的电子受到洛伦兹力而聚集，从而在电子聚集的方向上产生一个电场，此一电场将会使后来的电子受到电力作用而平衡掉磁场造成的洛伦兹力，使得后来的电子能顺利通过不会偏移，此称为霍尔效应。而产生的内建电压称为霍尔电压。
方便起见，假设导体为一个长方体，长度分别为$L,b,d$磁场垂直于$Lb$平面。当电流经过$Ld$平面的方向，电流$I=nqv(Ld)$，而$nq$为电荷密度。设霍尔电压为$V_H$，导体沿霍尔电压方向的电场为$V_H/L$。设磁感应强度为$B$。

$$F_e=E_m$$
$$qV_H/L=qvB$$
$$V_H/L=BI/(nqLd)$$
$$V_H=BI/(nqd)$$

正文

带电体在单个外场中运动

       为了研究霍尔效应。首先先来探讨比较简单的情况：带电小球在电场及磁场中的运动情况。这部分内容在中学时期已经研究比较多。但是一般只研究了带点小球在单个场中的运动情况，如单电场或单磁场。那么同时加上电场和磁场会发生什么呢？根据运动分解，这个问题是比较简单的。在单个电场中会作直线变速运动或抛体运动。而在磁场中则由于洛伦兹力始终与运动方向垂直，会做圆周运动。那么两者结合显然应该是一边作圆周运动一边作变速直线运动或抛体运动。也即是螺旋形上升。

       首先来看，只有电场的情况下。$\vec{F}=q\vec{E}$.如果带电体与电场方向共线则为变速直线运动，否则为类抛体运动。那么从所做出的图像可以看出基本是符合我们的预想的。

       接下来，我们来讨论在单磁场中的运动。当磁场存在与速度方向相同分量时并不对其产生影响。始终垂直的分量会使带电体做圆周运动，这一部分分量不做功。如果只存在这一分量，那结果非常的简单。在中学时我们便知道，其轨迹应该为标准的圆形，而且由于洛伦兹力与其运动方向始终垂直，应该对其不做功。那我们来验证一下，并看一下动能是否会变化。

       但是在计算物理中，我们肯定不满足于这么简单的情况。那么接下来的问题是当其不只存在垂直分量情况。

       只看第一张图片时，可以看出其比较无规地运动，但基本是圆周运动与平动的叠加。当我们将其运行次数调多，可以看到比较漂亮和规则的图像。但是上述两图有一定误导性。因为加入了其他分量的磁场，其运动不再是在平面内了。所以接下来，我们将这两张图片放在三维坐标系下来观察。

带电体在混合外场中运动

       以上部分内容我们仅讨论了带电体。那么同时加上电场和磁场会发生什么呢？根据运动分解，这个问题是比较简单的。在单个电场中会作直线变速运动或抛体运动。而在磁场中则由于洛伦兹力始终与运动方向垂直，会做圆周运动。那么两者结合显然应该是一边作圆周运动一边作变速直线运动或抛体运动。也即是螺旋形上升。

       可以看出，其结果与我们预期结果相符。这是在只加了电场和磁场情况下，其中磁场只存在垂直方向分量。所以二维图与三维图并无很大区别。只是三维图更为清晰地显示了带电体只在平面内运动。

       当然，我们也可以继续考虑加入重力场时的情况，其结果比较简单。但是一旦我们对磁场进行改变，如图2.4，其轨迹会变得比较奇怪，并且看似无规则。我们也可以继续讨论其他外场中的带电体运动情况，但限于篇幅，我们对其讨论到此结束。

霍尔效应

       讨论完比较基础的上述部分。我们便可以来解决霍尔效应问题。带电体在存在磁场的两板间运动，由于洛伦兹力发生偏转，不妨认为其带正电。则粒子会撞击到一侧板上，并形成向上电场。随着时间的积累，一侧板上的电荷越来越多，场强也越来越大，电子在电场和磁场的共同作用下偏转角度也会越来越大。最终形成稳定的共轭电场和磁场。此时，带电粒子不再发生偏转，形成一条直线。

总结

       由于第一次接触编程，本次作业选题比较简单。只是泛泛地讨论了一下轨迹问题。但是在完成作业（小作业及大作业）的过程中对编程有了一定的认识，也体会到了python的简洁（以及相应的速度慢的问题），和matplotlib的强大功能，包括添加注释和3d图，甚至于动图。相信这样一门工具对于今后的学习必然是大有裨益的。
本次作业中主要用到了numpy数组，由于其向量特性，非常方便用于此类受力问题。较好的解决了各分量比较复杂的问题。由于是初学者，期间还是走了一些弯路。比如在定义的类中，将可变参量定义为了默认参数。当只花一张图时，并不会产生任何影响。但是当使用subplotlib一次性作出多个图时，会产生bug，即默认参量不会随着新定义的对象而发生改变。致使只有第一张图可以画出来，而后面的图均画不出来。这个问题，是通过廖雪峰老师的主页来debug出来的，在此要致谢一下廖老师，其python教程写的非常适合初学者。在刚接触python的时候，给予了我巨大的帮助。

现将全部代码展示如下：Here

致谢

[1]廖雪峰python教程
[2]wikipedia
[3]plotlib主页.
[4]霍尔效应及应用.张海涛. 沈阳师范大学.物理科学与技术学院.110034