@myecho 2019-03-18T15:45:49.000000Z 字数 3093 阅读 819

数位DP汇总

动态规划

题意给出1-N之间所有不含49的个数

/*
题意：求1~N中含有数字49的个数     1 <= N <= 2^63-1
方法：数位DP
dp[len][0] 代表长度为len不含49的方案数
dp[len][1] 代表长度为len不含49但是以9开头的数字的方案数
dp[len][2] 代表长度为len含有49的方案数
状态转移如下
dp[i][0] = dp[i-1][0] * 10 - dp[i-1][1];  //如果不含49且开头不为9，在前面可以填上0-9 但是要减去dp[i-1][1] 因为4会和9构成49
dp[i][1] = dp[i-1][0];  //这个直接在不含49的数上填个9就行了
dp[i][2] = dp[i-1][2] * 10 + dp[i-1][1]; //已经含有49的数可以填0-9，或者9开头的填4
写完动态转移方程后就把N从高位到低位一个一个统计了
在统计到某一位的时候，加上dp[i-1][2] * digit[i] 是显然没问题，这是因为这一位可以填【0，(digit[i]-1)】这个区间的数
若这一位之前挨着49，那么加上 dp[i-1][0] * digit[i] 也是显然OK。
若这一位之前没有挨着49，但是digit[i]比4大，那么当这一位填比digit[i]小的4的时候，就得加上dp[i-1][1]（以9开头的数字的方案数）
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<cstring>
#include<string>
#include<set>
#include<stack>
#include<queue>
#include<iomanip>
const int MAX=21;
__int64 dp[MAX][3];
int digit[MAX];
using namespace std;
int main()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0]=1; //边界
    for(int i=1;i<20;i++)
    {
        dp[i][0]=dp[i-1][0]*10-dp[i-1][1];
        dp[i][1]=dp[i-1][0];
        dp[i][2]=dp[i-1][2]*10+dp[i-1][1];
    }
    int t,len,i,j,p,before;
    __int64 sum,n;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n;
        memset(digit,0,sizeof(digit));
        len=0;
        sum=0;
        before=0;
        while(n)
        {
            digit[++len]=n%10; //高位在右边
            n/=10;
        }
        bool p=false;
        for(i=len;i>=1;i--)
        {
            sum += dp[i-1][2] * digit[i]; 
            if(p)
                sum += dp[i-1][0] * digit[i]; 
            if(!p && digit[i] >4) //必须要有!p因为dp[i-1][0]的情况包括了dp[i-1][1]
                sum += dp[i-1][1];
            if(before == 4 && digit[i] == 9)
                p = true;
            before = digit[i];
        }
        if(p)
            sum++; //本身也算一个
        cout<<sum<<endl;
    }
    return 0;
}
/*统计过程如下:
假设统计N=591时，那么按以下的顺序进行统计：
1~499         确定5这一位，统计的数比它小
500~589     确定9这一位 ，统计的数比它小
590            确定1这一位，统计的数比它小 
最后判断一下自身是不是符合 即591
*/

常见转化的技巧，如果给定的区间是[n,m]的话，需要转化为[0,m] - [0,n]的问题形式进行求解。

例题2:
求不含62和4的数目在区间[n,m]内，转化为求[n,m]区间内含有62或者4的问题~

//dp[i][0]:长度为i的不含62和4的个数  
//dp[i][1]:长度为i,且最高位含有2的不含62和4的个数  
//dp[i][2]:长度为i的含有62或4的个数  
void init()  
{  
   memset(dp,0,sizeof(dp));  
   dp[0][0] = 1;  
   for(int i=1;i<=8;i++)  
   {  
      dp[i][0] = dp[i-1][0]*9(前边不能加4，其他随便) - dp[i-1][1](6与2会组成62);  
      dp[i][1] = dp[i-1][0];(前边添个2)  
      dp[i][2] = dp[i-1][0](前边加个4) + dp[i-1][1](前边加个6) + dp[i-1][2] * 10(随便加);   
   }  
}  
统计过程:
    for(int i=m;i>=1;i--)  
    {
      ans += dp[i-1][2] * A[i];  
      if(flag)  
      {  
         ans += dp[i-1][0] * A[i];  
      }  
      else  
      {  
         if(A[i]>4) ans += dp[i-1][0]; //填个4 
         if(A[i+1] == 6 && A[i]>2) ans += dp[i][1];//很重要，上题没有统计是因为9是最大的数字了!
         if(A[i]>6) ans += dp[i-1][1];
         if(A[i] == 4 || (A[i+1] == 6 && A[i] == 2)) flag = true;  
      }  
    }  
   //数本身  
   if(flag) ans++;

时刻注意不要重复和遗漏!
数位DP论文: 刘聪 http://wenku.baidu.com/link?url=ST9zKTsTISzDSKh-qWCWj4avfyrwY47AVAZyMZnDyUNRjLAnRKwRiyKOR0rBPBqUryCFbkf2qe6g7u36bIqiCXz-uBm4oq1B_bH-rXJY_Di###

拓展的题目: 这类题目需要经过转化之后才能看出数位dp的思想。
第一题：Amount of degrees (ural 1057)

题目链接：http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1057
题意：[x,y]范围内的数，可以拆分成k个b进制的不同幂的和的数字有多少。
我们可以将x转换成二进制来讨论。二进制转化时，找到第一个非0非1的数，将其及其后面的数都变为1.
那么问题就变成了求[0,x]范围内，二进制表示中含有k个1的数字有多少个。
求[x,y]区间相减。我们可以给数建立0，1的表示树。
在求高度为i的完全二叉树中含有j个1的路径有多少个时，递推式为：f[i,j] = f[i-1,j-1] + f[i-1,j]

第二题:HDU 3652 给定区间[1,N]求出含13且是13的倍数的数的数目。

关于整除的问题也是可以利用数位dp的，原因在于a%m == ((b%m)*10 + d)%m ，假如 a == bd的形式的话

实际上用3维就可以，参考资料2中给出的解答是用的4维的数组。
可以设DP[I][J][K]令J为除13后的余数，I为位数，K代表位数中是否出现13
其中k可以为0，1，2分别代表没有出现13，出现13，以及没出现13但是首位为1的情况。
题解:http://www.cnblogs.com/jie-dcai/p/4278404.html

参考资料:
1. 汇总：http://blog.csdn.net/niuox/article/details/9864199
2. http://wenku.baidu.com/link?url=o3ER_gVCyB0qcKthM-Y8vPtAGZ_u5bzOu_gUCUhPcXC6YfaSDgtBSXNEEvvGvSzyuDE9TULcPNsDrRd9IUtQVHeKUVrnPUjyfWjCly_J7Xq 初探数位DP

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