Final Project

无规行走 扩散

2014301020162 天眷班 段俊磊

摘要

本文首先探索了各种条件下的无规行走，而后将其与扩散运动相联系，并做了相关模拟.

背景

随机游走（random walk）也称随机漫步，随机行走等是指基于过去的表现，无法预测将来的发展步骤和方向。核心概念是指任何无规则行走者所带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律，接近于布朗运动，是布朗运动理想的数学状态。
扩散定律：扩散以一个初始分布释放大量的无规则行走，观察他们的密度，就会得到分布函数。

正文

1.无规行走

（1）一维条件下
a.步长固定为一，左右等可能
先考虑次数较少时可能的情况，如下是三次的模拟图

如上所示，可以看到粒子都都集中到了一个方向，这是巧合还是必然，由此继续在大量（10000）无规行走次数条件下继续观察.

在大数量级的条件下，粒子距离原位置的平均距离趋于0.通过大数定律，可以进一步验证以上模拟是符合实际的.
如下是x²的均值的模拟图

x²的均值与时间（步数）具有良好的线性关系.
b.步长随机在（0,1），左右等可能
结果如下

与a情况类似
c.步长固定为一，左右不等可能
结果如下

其x²的均值与时间并不是线性关系，通过概率论的知识可知成平方关系
（2）二维条件下的简单受限制的无规行走模拟
粒子从（4,4）开始进行无规行走，只能在x，y（0,8）的格子中行走

加大模拟次数

和一维条件不同，即使模拟次数已经极多（100000），粒子的位置没有集中于某个点，而是某个区域.

2.无规行走与扩散

由于无规行走与扩散的相似性，用无规行走模拟扩散过程，在一维条件下

其所围面积恒为1，峰值与所能达到的长度在变化.
考虑二维情况


与1.（2）二维条件下的简单受限制的无规行走模拟类似，就如同日常生活中的在湿纸巾上滴一滴墨水扩散一样，一开始集中在某一点，而向四周扩散，若是在考虑在1.（2）中使步数远大于空间尺度并进行大量模拟，结果如下

忽略边界各点，平面上各点的浓度基本一致，这也是扩散达到的效果.

3.Final Project中的娱乐小程序

Section7.7的雪花（koch函数）
利用python Turtle绘制

以上代码

致谢

Professor Cai
计算物理
Yvqiao Wu
随机游走_百度百科