第六次作业

迎面风阻 最小速度 高度

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摘要

作业L1 2.10题强化版（引入迎面风阻）:当打击目标在不同高度上时，计算炮弹所需的最小发射速度。(注意考虑目标高于炮弹和低于炮弹两种情况。）

背景

在第五次作业中，在炮弹打击系统中引入了简单的风阻并计算了相应的结果，本次作业要求引入迎面风阻，并计算炮弹所需的最小发射速度。

在引入迎面风阻时，假设风向水平，炮弹所受的的空气阻力如下

$$F_{drag}=-B_2\sqrt{v^2-v_{w}^2}$$ 受力分解
$$F_{drag,x}=-B_2\sqrt{v^2-v_{w}^2}（v_{x}^2-v_{w}）$$ $$F_{drag,y}=-B_2\sqrt{v^2-v_{w}^2}v_y$$ 与第五次作业的相关式结合
$$x_{i+1}=x_i+v_{x,i}\Delta t$$ $$v_{x,i+1}=v_{x,i}-\frac{-B_2\sqrt{v^2-v_{w}^2}（v_{x}^2-v_{w}）}{m}\Delta t$$ $$y_{i+1}=y_i+v_{y,i}\Delta t$$ $$v_{y,i+1}=v_{y,i}-g\Delta t-\frac{-B_2\sqrt{v^2-v_{w}^2}v_y}{m}\Delta t$$
即可带入作业五的相关程序
考虑到题目要求最小速度，根据上次作业的相关结论，将角度范围设定在25到65的范围内，据此采用二分法来近似计算

正文

依据题意可以设计如下代码

import math
xx = 4000#unit:m
yy = 120 #unit:m
g = 9.8 #unit:m/s
a = (6.5)*(math.pow(10,-3)) 
Bm = 4*math.pow(10,-5) #unit:m^(-1)
T = 300 #unit:K
vw = -10 #unit:m/s
va = 300 #unit:m/s
sv = [va]
sa = [0]
s = xx
for i in range(21):
    v = va 
    v0 = 0
    angle = 25 + i*1 
    for j in range(20):
        x = [0] #unit:m
        y = [0] # unit:m
        dt = 0.1 #unit:s
        vx = [v*math.cos(math.pi*angle/180)]
        vy = [v*math.sin(math.pi*angle/180)]
        while (x[-1]<=xx): 
            if y[-1] > 46100:
                c = 0
            else:
                c = math.pow((1-(a*y[-1]/T)),2.5)
            Fx = -Bm*math.sqrt((v-vw)*(v-vw))*(vx[-1]-vw)*c
            Fy = -Bm*math.sqrt((v-vw)*(v-vw))*vy[-1]*c
            vx.append(vx[-1]+Fx*dt)
            vy.append(vy[-1]+(-g+Fy)*dt)  
            x.append(x[-1]+vx[-2]*dt)
            y.append(y[-1]+vy[-2]*dt)
        r = (xx-x[-2])/(x[-1]-xx)
        y[-1] = (y[-2]+r*y[-1])/(r+1)
        x[-1] = xx
        if y[-1]>yy:
            vt = v
            v = v0+(vt-v0)/2
        if y[-1]<yy:
            v0 = v
            v = v0+(vt-v0)/2
    sv.append(v)
    sa.append(angle)
print (sv,sa)
vmin = min(sv)
l = sv.index(vmin)
amin = sa[l]
print ('The minimum initial velocity:'+str(vmin)+'m/s')
print('angle:'+str(amin)+'°')

运行结果
在4000m，y=0的对象时运行程序

The minimum initial velocity:219.2227m/s Angle:43°

考虑2000m外，y=0的对象时运行程序可得

The minimum initial velocity:146.0103m/s Angle:44°
考虑3000m外，y=700的对象时运行程序可得

The minimum initial velocity:206.6594m/s Angle:49°

结论

利用相关程序算出了V的极值，但利用二分法导致角度精度依然不够，需要改进

致谢

13级学长和百度