第十三次作业

波动

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摘要

6.12 Gaussian initial string displacements are convenient for the calculations of this section, but are not very realistic. When a real string, such as a guitar string, is plucked, the initial string displacement is more accurately described by two straight lines that start at the ends of the string (we assume fixed ends) and end at the excitation point, as illustrated in Figure 6.4. Compare the power spectrum for a string excited in this manner with results found above for a Gaussian initial wavepacket.

背景

物理学中，波是在空间以特定形式传播的物理量或物理量的扰动。由于是以特定的形式传播，这个物理量（或其扰动）成为空间位置和时间的函数，而且是这样的函数，即在时间t出现在空间r处周围的分布，会在时间（t+Δt）出现在空间（r+vΔt）的周围。v一般说是个常矢量，就是有关物理量（或其扰动）的传播速度。物理量函数称为波函数，数学上它是一个叫波动方程的在特定边界条件下的解。

波动方程

$$\frac{∂^2y}{∂t^2}=c^2\frac{∂^2y}{∂x^2}$$
对一小段进行受力分析如下

$$(μΔx)\frac{d^2y_i}{∂x^2}=Tsinθ_{i+1}-Tsinθ_i$$
利用近似
$$sinθ_i≈\frac{y_{i}-y_{i-1}}{Δx}$$
故有
$$\frac{d^2y_i}{∂t^2}≈(\frac{T}{μ})\frac{y_{i+1}-2y_{i}+y_{i-1}}{Δx^2}$$
做数值计算时，将横坐标划分为若干个点，做数值计算。
$$x=i\Delta x$$ $$t=n\Delta t$$ $$y=y(x=i\Delta x,t=n\Delta t)$$
y因此有如下关系式
$$\frac{y(i,n+1)+y(i,n-1)-2y(i,n)}{(\Delta t）^2}≈c^2[\frac{y(i+1,n)+y(i-1,n)-2y(i,n)}{(\Delta x）^2}]$$
因为$\Delta t$已知，且为定值，所以上式可化为：
$$y(i,n+1)=2[1-r^2]y(i,n)-y(i,n-1)+r^2[y(i+1,n)+y(i-1,n)]$$
位于两端$(y(0,n)=0,y(M，n）=0)$
"Gaussian pluck":
$$y_0(x)=e^{-k(x-x_0)^2}$$
其中$r≡\frac{c\Delta t}{\Delta x}$
然而在实际情况中，弦线是有劲度的，它的受力会有所不同，劲度可以通过在之前的弦振动方程中添加一项以被以被包含在模型中
$$\frac{∂^2y}{∂t^2}=c^2(\frac{∂^2y}{∂x^2}-\epsilon L^2\frac{\partial ^4 y}{\partial x^4})$$ 其中$\epsilon$是无量纲的劲度系数， $L$是弦长
用和上一章相同的方法我们可以得到四阶偏导的有限差分形式 $$\frac{\partial^4y}{\partial x^4}=\frac{y(i+2,n)-4y(i+1,n)+6y(i,n)-4y(i-1,n)+y(i-2,n)}{(\Delta x)^4}$$ 代入考虑了劲度系数的弦振动方程，经过一些运算，我们可得 $$y(i,n+1) = [2-2r^2 - 6\epsilon r^2M^2]y(i,n) - y(i,n-1) +r^2[1 + 4\epsilon M^2][y(i+1,n)+y(i-1,n)] -\epsilon r^2 M^2[y(i+2,n)-y(i-2,n)]$$ 其中$M=\frac{L}{\Delta x }$

正文

代码
1.对于

$$y_0(x)=e^{-k(x-x_0)^2}$$ 弦的波动

2.功率谱图

3.初始弦的位移由两条直线组成

致谢

吴雨桥 罗佳佳同学