第九次作业

李雅普诺夫指数 billboard problem

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摘要

Exercise 3.30
Investigate the Lyapunov exponent of the stadium billiard for several values of α. You can do this qualitatively by examining the behavior for only one set of initial conditions for each value of α you consider, or more quantitatively by averaging over a range of initial conditions for each value of α.

背景

李雅普诺夫指（Lyapunov exponent）数表示相空间相邻轨迹的平均指数发散率的数值特征。又称李雅普诺夫特征指数，是用于识别混沌运动若干数值的特征之一。
From the text
Except for the collisions with the walls,the motion of the billiard is quite simple.Between collisions the velocity is constant so we have

$$\frac{dx}{dt}=v_x$$ $$\frac{dx}{dt}=v_y$$
Then we can use the Euler solution

正文

依据课本的思路，考虑方桌上的一个弹性球，结果如下（起点为（1,0））
代码

接下来考虑circular table和stadium-shaped table
代码


当 α=0 0.001 0.01 0.1 ，弹性球在桌子上的相空间图如下

明显可以看出，当阿尔法增大时，系统表现的更为混沌
接下解决问题exercise3.30代码

α=0.001 ，李雅普诺夫指数难以测量

α=0.01 ，李雅普诺夫指数=0.05

α= 0.1，李雅普诺夫指数=0.17
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结论

1.当α增大时，系统的李雅普诺夫指数增大，系统更趋于混沌
2. 有以下结论

α=0.001 ，李雅普诺夫指数难以测量

α=0.01 ，李雅普诺夫指数=0.05

α= 0.1，李雅普诺夫指数=0.17

致谢

Professor Cai
谭善
吴帆帆