第八次作业

混沌现象 驱动力

---

摘要

在第七次作业中，可以发现在驱动力较大时，系统出现了明显的混沌现象，而驱动力减小时，这种现象并不明显，本次作业探索混沌现象出现的过程，并考虑当驱动力继续增强时，系统所产生的变化（Exercise3.18）

Exercise3.18
Calculate Poincare section for the pendulum as it undergoes the period-doubling route to chaos. Plot ω versus θ, with one point plotted for each drive cycle, as in Figure 3.9. Do this for F_D =1.4, 1.44, 1.465, using the other parameters as given in connection with Figure 3.10. You should find that after removing the points corresponding to the initial transient the attractor in the period-1 regime will contain only a single point. Likewise, if the behavior is period n, the attractor will contain n discrete points.

Vpython

正文

首先，考虑增大驱动力，结果如下（代码）
如上，当驱动力不断增加时，系统由有序趋于混沌而后再次趋于有序，由图可知，第一张图的摆的周期与外界驱动力的相同，第二张图是外力周期两倍，第三张图是外力周期四倍，考虑利用教材所述的bifurcation diagrams做一个简单的分析（代码）

如图所示，F从1.35至1.42的这段区域内，每一个F只对应一个角度，这时单摆的周期与外力周期一致，而后每一个F对应两个，四个角度，此时单摆的周期为外力周期的两倍，四倍。当外力持续增大时，周期会更大，进而再一次进入混沌.
根据3.18所述，结果如下（代码）

$$F_D=1.4$$
这张F_D=1.4图，出现了一条本来不应该出现的线（原本应该是一个点），分析原因是软件在进行纯数字计算时的小误差被放大所致。

$$F_D=1.44$$

$$F_D=1.465$$
对于同一个状态，当F=1.4时仅有一个点，当F=1.44时有两个，当F=1.465时有四个，这也与上面的结果相吻合.

结论

在不同的角度观察了外力为1.4 1.44 1.465情况下的系统，得出了相应的周期关系，并简要分析了系统的状态变化

致谢

Wu yuqiao
TanMingjun