第 0 章序言

§ 0.1 高等代数的研究对象

线性

“ $n$ 元线性方程组”——借用几何得名。

线性方程中仅是系数与常数在参与运算，所以提取出它们，就变成了矩阵。

一定有解吗？回到几何直观——两条直线，相交、平行、重合……

下图中小麦色和橘黄色标注的即是线性代数的主题。

图 0.1.1

映射：投影、相似、压缩。
度量：实数范围——欧几里得空间；复数范围——酉空间。
线性变换：空间映射到自身的运算。
与度量有关的线性变换：（正交、对称、酉、Hermite）变换。

非线性

高代在这部分研究（讲授）的主要是下图小麦色的内容。

图 0.1.2

§ 0.2 数学的思维方式

高代概念很多，若死记硬背，越学越难。

图 0.2.1

观察：观察纷繁复杂的客观现象，提出要研究的问题，抓住主要特征。
抽象：抽象出概念或建立模型。
探索：直觉、类比、归纳、联想、推理。
猜测：猜测可能有的规律。
论证：深入分析，运用定义、公理、定理进行逻辑推理。
揭示：揭示出事物的内在规律。

第 1 章线性方程组的解法

§ 1.1 矩阵消元法

抽出方程组的系数称为系数矩阵，加之常数列称为增广矩阵。

经过“以下‘怼’上”与“摆成阶梯”的矩阵的初等行变换，得到简化の行阶梯型の矩阵，

图 1.1.1

其特点：主元全一，上下全零，各阶梯长度可变而高度只能为一。例如——

或

$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & b \\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)~或~ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

其中 $b$ 是常数。

至此方程组的解已然明显。

假设解出形如 $\begin{cases} x_1=x_2+1 \\[1.5ex] x_3=1 \end{cases}$ 的一般解，称等号左边的为主变量，右边的为自由未知量。

§ 1.2 解的情况及其判别准则

有且只有三种情况：不存在，或唯一，或无限。
设 $n$ 为原方程组未知量的数目， $r$ 为阶梯型增广矩阵 $J$ 非零行的数目。

有 唯 一 解 无 穷 多 解 。

$\begin{cases} n=r, & \text{有唯一解,} \\[0.2ex] n>r, & \text{无穷多解。} \end{cases}$

$J$ 有 $n+1$ 列（最后一列即常数列）。

（弃坑，还是直接在书上做笔记好）