《数学分析教程》笔记

丫Yyoλ入人


（授课：《数学分析教程》- 史济怀）

$$% ————【宏包】———— \require{enclose} \require{cancel} \require{extpfeil} % ————【样式】———— \def\dss{\displaystyle} % Subscript Comment \newcommand{\sc}[2][]{\underset{\underset{\displaystyle#2}{}}{#1}} % Subscript Comment + Arrow Pointing Downwards Then Curving Rightwards \def\scdr#1{\underset{\underset{\bf⤷}{}}{}~\sc{#1}} % Negative Distance 每 3 缩进值 = 1 \! \newcommand{\ndi}[1][15]{\mspace{-#1 mu}} % Delimiter - Low Corner \def\lowc#1{\underset{\displaystyle\llcorner}{\vphantom{#1}}\!\!\!#1\!\!\!\underset{\displaystyle\lrcorner}{\vphantom{#1}}} % ————【字母、符号】———— \def\ve{\varepsilon} \def\thus{\therefore} % ————【通用运算符】———— % 直接输出最常用的极限形式 \newcommand{\limto}[1][n]{\lim\limits_{#1\to\infty}} % Limit-Type Underscript（关系：\lim\limt n = \limto） \newcommand{\limt}[2][\infty]{\limits_{#2\to#1}} % 微分符号 d \DeclareMathOperator{\Differential}{d} \newcommand{\d}[1][\:\!\!]{\Differential#1} \newcommand{\dt}[2][t]{\left.\dfrac\D{\D#1}\right|_{#1#2}} % 直接输出带上下限的求和或乘积符号 Sum or Product with Superscripts and Subscripts \newcommand{\ssss}[3][\infty]{\sum\limits_{#3=#2}^#1} \newcommand{\psss}[3][\infty]{\prod\limits_{#3=#2}^#1} % 绝对值和范数 \def\abs#1{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} % ————【关系运算符】———— \def\le{\leqslant} \def\ge{\geqslant} \def\til{\sim\!\!} % ————【形状和图标】———— % Circle \def\cc#1{\enclose{circle}{#1}} % Underline \def\ul#1{\enclose{bottom}{#1}} % Underline Mark \def\ulm#1{\color{teal}{\enclose{bottom}{\color{black}{#1}}}} % Underline Condition \def\ulc#1#2{\color{silver}{\enclose{bottom}{\color{black}{#2}}} \enspace\color{silver}{\cc{#1}}} % Rounded Box \def\rb#1{\color{teal}{\enclose{roundedbox}{\color{black}{#1}}}} % Strikethrough \def\strike#1{\color{auqa}{\enclose{horizontalstrike}{\color{gray}{#1}}}}$$

上册

第 1 章 实数和数列极限

§ 1.1 实数

【命题】
有理数是稠密的——任意一个有理数的无论多么小的邻域内，总存在其他的有理数。
【证明】
对于 $\forall\ q \in \Bbb N~,\ x \in \Bbb Q~,$ 总 $\exists\ p(q,x)~,^*$ 使得

$$\dfrac{p}{q} \leqslant x < \dfrac{p+1}{q}~,$$

（$^*$ 可解不等式，即 $\ p$ 可用 $q,x$ 表示，即表明存在）

『在数论中自然数通常被视为与正整数等同，即1，2，3等，但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。』【来源】

移项，并（从结论反推）令 $q>\dfrac{1}{\varepsilon}~,$ 得

$$\left| x-\dfrac{p}{q} \right| < \dfrac{1}{q} < \varepsilon~.$$

$\dfrac{p}{q}$ 就是与 $x$ 相邻的有理数，$q \nearrow \implies x,\dfrac{p}{q}$ 相距越近，而且是任意小区间的连续接近，即任意区间内存在无穷多个有理数，因此命题成立。

——我们称 $\dfrac{p}{q}$ 可对 $x$ 任意逼近。

【另证】
图 1.1.1

$$\lfloor x \rfloor \leqslant x < \lceil x \rceil \\ \Downarrow \\ \left \lfloor \dfrac{x}{q} \right \rfloor \leqslant \dfrac{\lfloor x \rfloor}{q} \leqslant \dfrac{x}{q} < \dfrac{\lceil x \rceil}{q} \leqslant \left \lceil \frac{x}{q} \right \rceil \\[5ex] (2 \leqslant 2.4 \leqslant 2.46 < 2.5 \leqslant 3 \\ \Uparrow {\rm e.g.\ } x=24.6~,\ q=10)$$

令 $x'=\dfrac{x}{q}~,$ 得

$$\left| x'-\dfrac{\lfloor x \rfloor}{q} \right| < \dfrac{1}{q} < \varepsilon. \label{eq:1c} \tag{1c}$$

图 1.1.2

由平移性（一维分形）知 $\big[\lfloor x \rfloor, \lceil x \rceil\big]$ 上的任意一段区间具有与 $\big[\lfloor x' \rfloor, \lceil x' \rceil\big]$ 相同的结构，即点的稠密性相同，
再由式 $\eqref{eq:1c}$ 及 $q$ 的自由度知 $\big[\lfloor x' \rfloor, \lceil x' \rceil\big]$ 上具有无穷多的点，因此 $\big(\lfloor x \rfloor, \lceil x \rceil\big)$ 任意一点的任意充分小的邻域内具有无穷多的点。等价证明完毕。

【命题】
$\forall\ p,q,b \in \Bbb Z\backslash\{0\},\ \nexists\ n=\left(\dfrac{p}{q}\right)^b \implies \sqrt[b]{x}\notin \Bbb Q~.$
证明思路：反证法。延拓出矛盾。

逆否命题与原命题等价关系成立的前提。【参考】

题：将 $0.\dot12\dot3$ 表示成有理数。
提示：$n$ 位循环，乘以 $10^n~.$

问：两个互质的无理数如何运算？
答：使用其近似值。

§ 1.2 数列和收敛数列

如下图，要求数列单向趋近极限值，不允许回跳。

图 1.2.1

【定义 1.2.1】
设 $a\in\Bbb R~,$ 若 $\forall~\varepsilon>0~,\ \exists~\rm N\in \Bbb N~,$ 使得当 $n>\rm N$ 时，$\rb{|a_n-a|<\varepsilon}$ 成立，则记 $\limto a_n=a~.$

【例】
证明 $\limto \dfrac{1}{n}=0~.$
要点：套定义。令 $\rm N=\left[\dfrac{1}{\varepsilon}\right]~,$ 则 $\rm N<\dfrac{1}{\varepsilon}<N+1~,$ 这样的 $\rm N$ 存在，故所证等式成立。

（弃坑，还是直接在书上做笔记好，下面的是书上重要之处的抄录以及省略之处的补充一派胡言等等）

§ 1.10 数列的上极限和下极限

【定义 1.10.1】
设 $\{a_n\}$ 是一个数列，$E$ 是由 $\{a_n\}$ 的全部极限点构成的集合。
记

$$\ulc1{a^*=\sup E}~,\quad \ulc2{a^*=\limsup\limt n a_n}~,$$

$\cc1:~$ $a^*$ 是极限点中的上确界（由定理 1.10.1 (1)，$a^*$ 也是 $E$ 中最大的数）；
$\cc2:~$ $a^*$ 是 $\{a_n\}$ 的上极限（$\limsup$）。由定理 1.10.3 (2)，“$\limsup\limt n$”其实是“$\limto\sup\limits_{k\ge n}$”的简写。

【定理 1.10.1】
(1) $a^* \in E~,$（即 $\sup E \in E$）；(2) 来自史济怀老师的板书，不采用书中略晦涩的表述。
再换一种表述：在子列 $\{a_{k_n}\}$ 收敛到 $a^*$ 的过程中，只存在有限个大于 $a^*$ 的项。
(2) 若 $x>a^*~,$ 则在 $x$ 右边最多只有 $\{a_n\}$ 中的有限多个数。
(3) $a^*$ 是满足前两条性质的唯一的数。

【定理 1.10.3】
对数列 $a_n~,$ 定义 $\alpha_n=\inf\limits_{k\ge n}a_k=\inf\{a_n,a_{n+1}~,\dots\}~,\ \beta_n=\sup\limits_{k\ge n}a_k=\sup\{a_n,a_{n+1}~,\dots\}~,$ 那么：
(1) $\{\alpha_n\}$ 是递增数列，$\{\beta_n\}$ 是递减数列；
(2) $\limto\alpha_n=a_*~,\ \limto\beta_n=a^*~.$

【解读】
由定理 1.10.1 (1)，$\beta_n$ 是 $\{a_n,a_{n+1}~,\dots\}$ 中的最大项。
按定义，(1) 是显然的。只需研究 (2) 的 $\limto\beta_n=a^*~.$

【通假 证明】2017-08-14~18，费时整整四天半（虽然实际上时间几乎都浪费在制作样式上了），冥思苦想，坎坷不断，死磕此一，更迭数版，终于提炼出完全符合并正确的解释模型，最终恰好是比喻的类型。
$E:=\{~l\in\Bbb R_\infty~\colon~\limto[k]\ \ul{a_{i_k}}\ndi[18]\scdr{“原数”}\ndi[36]=l~\}\ (i_k\ge k)~,$套用编程中“类和对象”的概念，每个极限点是一个“对象”，用字母 $l$ 代表它们的“类”。
$F:=\{~a_n,a_{n+1}~,\dots~\}~.$

注意：
$\begin{align*} \forall\ l\in F & \:\implies E \subseteq F\,,\\ \exists\ l \notin F & \iff E \not\subset F\,.\end{align*}$因此想要得到子集关系还得引入不必要的复杂定义，到头来还不如直接比较集合中的元素。

角色	等级	备注
$a_n$	凡人	之中最强即 $\beta_n$
$a_{i_k}$	圣人	$i_k\ge k\ge n$
$l$	仙人	圣人无穷历练飞升来
$a^*$	至神	仙中至尊，独一无二

表 1.10.1

(a) 若 $a^*$ 是有限数：

1. 圣人不敌最强凡人：$a_{i_k} \le \beta_n~.$
   跨集合静态比较：任取集合 $E$ 中的“原数”并使之成为集合 $F$ 中的少数元素。
   （“静态”：一试全晓，不再重来。
   “任……使之……”：这恰由定理开头定义给定条件“$k\ge n$”保证成立。既然取的对象是“任意”的，那么其便代表整个“类”中的全体“对象”。）
   乃至至神出马都不一定行，得 $\ulc1{a^* \le \limto\beta_n}~.$
   
   
2. 最强凡人不敌至神：$\beta_n \le a^*+\ve~.$
   划集合动态比较：利用 (1) 的“$\{\beta_n\}\searrow$”，结合定理1.10.1 (2)，得 $\ulc2{\limto\beta_n \le a^*} ~.$
   （“划”：至神降临给 $F$ 划限。
   “动态”：有下标改变。）
   
   

由 $\cc1,\cc2$ 即证明了 $\limto\beta_n=a^*~.$

(b) 若 $a^*=\pm\infty$：
海内存至神，天涯皆圣人，至神游目骋怀，放浪形骸之外，所之能及，无不凡人，脱胎换骨，深藏功名。
上极限 $a^*$ 无穷大，蕴涵 $\exists~\{a_{i_k}\}\subseteq \{a_n\}~\colon\ \limto[k] a_{i_k}\overset{\dagger1}=\infty~.$ 则 $\sup\{a_n\}\overset{\dagger2}=\sup\{a_{i_k}\}=\infty~.$
（$\dagger2~~\substack{\cancel{\ndi\implies\ndi}\\\ndi\impliedby\ndi[12]}~\dagger1$）

意即——

“ 最强凡人之极限可匹之至神。 ”

由定义 1.10.1 之 $\cc2$ 和本定理之 (2)，有

$$a^*=\limsup\limt n a_n=\limto\sup\limits_{k\ge n}a_k~.$$

点评这样的联想仅有助于初学者理清四大角色的关系，使思维“一连成串”。
书上对此定理的证明很完美，正规文要严格仿照它来写。

第 2 章 函数的连续性

§ 2.11 函数的上极限和下极限

【定义 2.11.1】
$B_\delta(\check x_0):=\{~x~\colon~0<|x-x_0|<\delta~\}~,$（见 P73）
$E:=\{~l\in R_\infty~\colon~\exists\ x_n\in B_\delta(\check x_0)~,\ x_n\to x_0 \implies f(x_n)\to l~\}~.$
设 $a^*=\sup E~,\ a_*=\inf E~,$ 分别称它们为当 $x\to x_0$ 时，$f$ 的上极限和下极限，分别记作

$$\limsup\limt[x_0]x f(x)~,\quad \liminf\limt[x_0]x f(x)~.$$

P113
数列的上下极限可以看成是函数的上下极限的特殊情况。设有数列 $\{a_n\}~,$ 在 $(0,1)$ 上定义函数：

$$f(x)=a_n~,\quad x\in \bigg[\dfrac1{n+1},\dfrac1n\bigg)~(n=1,2~,\dots)~.$$

请证明：

$$\limsup_{n\to\infty}a_n=\limsup_{x\to0^+}f(x)~,\qquad\liminf_{n\to\infty}a_n=\liminf_{x\to0^+}f(x)~.$$

【解读】
用映射表示，$f~\colon~(0,1)\mapsto \Bbb R~.$
$f(x)$ 可以是“随机阶梯函数”，各段值是多少无关紧要，如下图（画到 $n=100$），
图 2.11.1

【证明】
在 $f(x)$ 中，$a_n$ 下标 $n$ 的变动靠 $x$ 取值区间的变动，即

$$\{a_k\mid k\ge n\} \impliedby x\in\Big(0~,\frac1n\Big)~,$$ 又因 $f(x)=a_n~,$ 所以对于 $\forall~N\in\Bbb N~,$ 下式都成立：
$$\bbox[8px,border:2px tan]{\sup\limits_{n\ge N}~a_n = \sup\limits_{\!0<x<\frac1N\!\!\!} f(x)} \tag{关键}$$ 再令 $N\to\infty~,$ 得
$$\limto[N]\sup\limits_{n\ge N}~a_n=\limto[N]\sup\limits_{\!0<x<\frac1N\!\!\!} f(x)~,$$ 即
$$\limsup\limt n a_n = \limsup\limt[0^+]x f(x)~.$$

下册

第 15 章 函数列与函数项级数

§ 15.5 函数的幂级数展开式

P245
……例如函数

$$f(x)=\ssss0n\dfrac{\sin(2^n x)}{n!}~,$$ 这是一个由函数项级数确定的函数。利用定理 15.3.8（“逐项求导”定理），不难证明它在 $(-\infty,+\infty)$ 上有任意阶导数。它在 $x_0=0$ 处的 Taylor 级数为
$$f(x)\sim \ssss0k\frac{(-1)^k e^{2^{2k+1}}}{(2k+1)!}x^{2k+1}~. \sf\tag{yi}$$

【误区警示】
这里的 $e$ 并非由欧拉公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 得来！

【推导】
$\begin{align*} f^{(m)}(x) & = \Big(\sum\cdots\Big)^{(m)} = \sum\Big(\cdots\Big)^{(m)} \quad\text{再由书上此节问题中的第 1 题，}\\ & = \dfrac{1}{n!} \ssss0n 2^{nm} \sin\Big(\dfrac{m\pi}2+2^n x\Big)~,\\ \therefore f^{(m)}(0) & = \ssss0n\dfrac{2^{nm}}{n!}\sin\Big(\dfrac{m\pi}2\Big) \end{align*}$
再由 $e^{x^m}=\ssss0n\dfrac{x^{nm}}{n!}\ \left(\!\!\impliedby \ssss0n\dfrac{(x^m)^n}{n!}\right)$ 和书上下文的例2即得式 $\sf (yi)~.$

第 16 章 反常积分

§ 16.1 非负函数无穷积分的收敛判别法

P276
【例4】
证明：积分 $\dss\int_0^{+\infty}\frac{x\d x}{1+x^6\sin^2x}$ 收敛。
【疑惑】
解答中的第一个不等式

$$\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{x\d x}{1+x^6\sin^2x} \le (n+1)\pi\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\d x}{1+n^6\sin^2x}$$ 中的 $n$ 是咋整出来的？
【解答】
如下图。对于每一段 $[{n\pi},{(n+1)\pi}]~(n=1,2~,\dots)~,$ 不等式左边（蓝线）小于右边（橙线）。
书上的是图 a，连图 b 都远不如，更比不上图 c.

图 16.1.1.a

图 16.1.1.b

图 16.1.1.c

不等式右边第一个乘项 $(n+1)$ 改成 $n$ 即是图 c. 相应的积分是

$$2\pi n \int_0^{\frac\pi2} \frac1{\cos^2(x)+n^6\sin^2(x)}\d x = \frac{\pi^2}{n^2}~.$$

§ 16.2 无穷积分的 Dirichlet 和 Abel 收敛判别法

P282
【例2】
讨论 $\dss\int_1^\infty(-1)^{[x^2]}\d{x}$ 的敛散性，这里 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分。
【解读】
$(-1)^{\left\lfloor x^2\right\rfloor}$ 的图像：
图 16.2.1

§ 16.4 反常重积分

P300
【例5的扩展】

$$I=\idotsint\limits_{~~V} \dfrac{\d x_1\d x_2\cdots\d x_n}{(x_1+x_2+...+x_n)^p}$$ 其中
$$V=\{~(x_1,x_2~,\dots,x_n)~\colon~x_1>0~,x_2>0~~,\dots,x_n>0~,x_1+x_2+...+x_n<1~\}~.$$

答：当 $p<n$ 时积分收敛，且

$$I=\frac{1}{(n-1)!~(n-p)}~.$$

第 17 章 Fourier 分析

§ 17.4 平方平均逼近

P333
【定理 17.4.2】
设 $f\in\Bbb R^2[-\pi,\pi]~,\ a_n,b_n$ 是 $f$ 关于三角函数系的 Fourier 系数，那么 $f$ 可用它的 Fourier 级数的部分和平方平均逼近，即 Parseval 等式成立：

$$\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f^2\d x = \frac{a_0^2}2 + \ssss1k(a_k^2+b_k^2)~.$$
【证明】
前面已经证得： $$\norm{f-\ssss[n]0k}$$