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@markheng 2017-01-05 13:06 字数 8278 阅读 4059

矩阵复习

矩阵理论


常见问题查询

分块矩阵特征值求法

分塊矩陣特徵值的計算方法

001

加法

  1. 交换
  2. 结合
  3. 零元
  4. 负元

倍法

线性空间

基底

生成(张成)空间

生成元

常见子空间

核空间,像空间

广元公式

遗留练习: P8 8

002

核空间 像空间

互补公式

广义元

线映射

caylay定理,求矩阵多项式时用得到

多项式除法??

广元的线性映射

过渡矩阵

换基公式

原像的相关性与像的相关性

原像相关 => 像也相关
像无关 => 原像无关

003 9/29

直和空间的证明方法

直和空间证明问题 :使用构造的方法解

内积空间

复内积

长度(模长)

单位向量、单位化

正交

正交投影

共轭转置及公式

酉空间

dim V = n < 正无穷,那么V即酉空间

004 10/11

控扼转置三个性质

矩阵的迹tr(A)

矩阵的共轭转置

矩阵的内积

正交阵与酉阵

酉阵
空间中n个列正交,且每个列向量的模长为1
正交阵
实数酉阵
予酉阵
n个列正交,不要求模长为1

酉阵中,有

豪斯酉阵公式

半酉阵和予半酉

005 10\13 周四

酉阵与酉空间

中的正交基

扩充法

House公式

House公式中对上任意的性质

House公式中关于特征值的说明???


为什么有 ???

QR分解

QR分解
任意方阵存在与上三角阵使得

许米特正交化方法

公式

006 10/18

QR分解的House方法和许米特正交化方法例题

House方法中P矩阵除了第一列之外的列的求法???

高阵QR分解及方法

许尔相似公式

007 10/20

高阵QR分解

施密特正交化方法的应用

半酉阵的性质

依然保内,保长,保正交,但是

U阵分块

U阵Q分为(A,B)两块,

QR分解证明正定阵

正定阵合同于单位阵

许尔公式

许尔公式
方阵A酉相似于B,其中B为上三角阵,且对角线值为A全部特征根。
特殊: A为mxn矩阵时,A酉相似于B,B也为mxn阶上三角,且对角线为A的全部特征根。

008 10/25

许尔公式推论及Jordan形

推论:
1. 存在 可逆阵 P使得 为上三角,对角线为A的特征值,没有固定次序
2. Jordan形: 存在可逆阵P,s.t. 称为A的Jordan形

Hermite阵条件


注意对角线为实数,因为

Hermite阵特征值全为正数

斜Hermite阵

斜Hermite阵的特征值全为0或纯虚数

Hermite定理

将许尔公式中的方阵替换为 Hermite阵,D由上三角强化为对角阵

推论

D为对角可知,矩阵Q中的列都是A的特征向量,有
依照这个推论,求D时可以用A的全部特征向量构造Q,然后求出D

正规阵条件

A为方阵

常见正规阵

正规阵的分块上三角引理(三角正规引理)

注意: 严格的上三角阵不是正规阵

正规阵定理

将Hermite定理中的Hermite阵替换为正规阵,其它相同。

推论

跟Hermite中的推论相同。
Q的列都是A的特征向量,且相互正交
若A正规,则与A相关的多项式
也正规
特别有:

009 10/27

正规阵的谱分解公式

引入


再写

A的谱分解公式为

推广

f(x)为任意多项式,则有

010 11/01

单阵谱公式

公式与正规阵谱公式相同,但是投影阵的特性中没有 每一个都是Hermite阵

单阵(可对角化阵)

如果存在可你真Q,使的A相似于对角阵,则称A为可对角化矩阵(单阵)

常见的单阵

满秩(高低)分解方法

  1. 原矩阵A行变换到(最简)阶梯型矩阵D,除了前r行之外的行都为0
  2. 前r行中,找到所在的行,表示第i行为1的r维单位向量。
  3. 在A中取出对应的各个列,作为B矩阵,C取D矩阵中的前r行
  4. 得到A的高低分解,A=BC

011 11/03

正定Hermite阵

Hermite阵A,二次型对任意成立,称A为正定矩阵,记为“A>0”

半正定Hermite阵

正定阵等价条件

:

平方根公式

引理1

A为mn阶矩阵则 为半正定

引理2

秩公式

换位公式

AB与BA只相差m-n个0根,非零根相同

有相同的非零根,且两个中间矩阵都是半正定

正奇异值

的正特征值的根号,称为A的正奇异值

012 11/08

秩一公式

根公式

奇异值分解SVD

简化SVD

换位公式

极分解

013 11/15

广义逆

左逆/右逆

减号逆/1逆


不唯一

加号逆


性质

只有一个

A+公式

为高低分解,则

A+公式2

014 11/17

高阵公式

低阵公式

秩一公式

SVD公式

其它A+公式

对角形公式

数的A+

零阵公式

可逆方阵公式

半优公式

特解公式

无解判定

正规方程有解定理

正交引理1/2

015 11/22

正交引理

AX=b的特解和通解

极小长度解定理

最小二乘解(小二解)

最小长度的最小二乘解(最佳小二解)

若A是高阵则AX=b的全体小二解就是

矩阵方程

A-公式

运用初等变换求QP,得到

016 11/24

范数与级数

范数性质:

F范数

上常见范数

1范数

分量的绝对值和

2范数

模长

无穷范数

最大模长

P范数

等价定理

上常见范数

F范数

M范数(总和范数)

1范数(列范数,最大列和)

无穷范数(行范数,最大行和)

2范数(谱范数,最大奇值)

017 11/29

范数生成公式

谱半径

谱范不等式

谱半径小于任意一个范数

小范数定理

存在只比谱半径大一点点的范数

新范数引理

相似阵的范数为原矩阵的新范数

收敛定理

谱半径小于1,矩阵收敛

推论

若某范数<1,则谱半径<1,且

定理


若谱半径<1,则上述结论也成立

018 12/01

小范数定理

实数范数定理

许尔不等式

若等号成立,则A为正规阵

Ger圆盘

幂级数收敛定理

Eular公式

求导公式

根公式

一个非单阵公式(广谱公式)

需要特征值全部相等(秩一),然后可展开

019 12/08

直积(张量积)

一般不可交换,右侧不可分块

左侧分块公式

分配

齐性

结合律

集合的张量积

集合中的元素分别相乘,作为结果中的元素

直积的阶数

吸收公式

,需要保证AC、BD有意义
可推广到n项的情况

方阵的直积

特殊情况

单位阵

对角型

上三角

逆公式

A,B可逆,则可逆

转置公式

等价关系

矩阵相似,两边同时直积,结果也相似

秩公式

加号逆公式

根公式

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