第七章 二维几何变换

计算机图形学

---

7.0 综述

本章是图形坐标变换的基础，讲坐标变换的表示和基本方法，需要认真仔细地理解和掌握。

7.1 基本的二维几何变换

基本的二维几何变换分为三种：平移、旋转、缩放
三种变换的普通表示都相当容易理解，重点在于矩阵表示和齐次坐标

7.2 矩阵表示和齐次坐标

每个基本变换都可以表示成

$$P' = M_1 \cdot P + M_2$$
的形式，其中$M_1$是包含惩罚系数的2*2矩阵，$M_2$是包含平移项的两元素列 两元素列矩阵。

7.2.1 齐次坐标

任意二维坐标可以扩充成三维表示$(x_h,y_h,h)$,其中h是非零值
一般取h=1

7.2.2 二维平移矩阵

坐标位置的而为平移可以表示为下面的矩阵乘法：

$$\begin{bmatrix} x'\\ y'\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}$$
简写为
$$P'=T(t_x,t_y) \cdot P$$

7.2.3 二维旋转矩阵

类似的，二维旋转矩阵可以表示为

$$\begin{bmatrix} x'\\ y'\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) & 0\\ sin(\theta) & cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\ \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}$$
$\theta$为要旋转的角度

7.2.4 二维缩放矩阵

二维缩放矩阵表示

$$\begin{bmatrix} x'\\ y'\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}$$

7.3 逆变换

计算方法本身没有什么正逆，一种方法的逆就是将参数变为相反的方向。
比如旋转30度的逆就是旋转-30度。

平移变换矩阵$T$的逆矩阵$T^{-1}$

$$T^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -x_t\\ 0 & 1 & -y_t\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

旋转$R^{-1}$,将$\theta$用$-\theta$替换得到

$$R^{-1} = \begin{bmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0\\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

缩放$S^{-1}$

$$S^{-1}= \begin{bmatrix} \frac{1}{s_x} & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{s_y} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

7.4 二维复合变换

利用矩阵表达式，可以通过计算单个变换的矩阵乘积，将任意的变换序列组成符合变换矩阵。形成变换矩阵的乘积称为矩阵的合并或复合。

7.4.1 复合二维平移

$$T(t_{1x},t_{1y}) \cdot T(t_{2x},t_{2y})=T(t_{1x} + t_{2x} , t_{1y} + t_{2y})$$

7.4.2 复合二维旋转

$$R(\theta_1) \cdot R(\theta_2)=R(\theta_1 + \theta_2)$$

7.4.3 复合二维缩放

$$S(s_{1x},s_{1y}) \cdot S(s_{2x}, s_{2y}) = S(s_{1x} \cdot s_{2x}, \ \ \space s_{1y} \cdot s_{2y})$$

7.4.4 通用二维基准点旋转

上面介绍的旋转、缩放方法的齐次表示都是以坐标原点作为参考点的，要想实现绕$(x_f,y_f)$点旋转或者缩放，可以将上面的基本变换组合，从而得到想要的结果，比如要实现绕$(x_f,y_f)$旋转，可以用以下三步来实现

1. 先将目标平移$(-x_f, -y_f)$，使$(x_f, y_f)$跟坐标原点对齐
2. 再旋转$\theta$角度
3. 再将旋转后的图形平移至原来的位置即可

用矩阵表示如下(注意从右往左对应上面的123步骤)

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & x_f \\ 0 & 1 & y_f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) & 0 \\ sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -x_f \\ 0 & 1 & -y_f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) & x_f(1-cos(\theta)) + y_f sin(\theta) \\ sin(\theta) & cos(\theta) & y_f(1-cos(\theta)) - x_f sin(\theta) \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

7.4.5 通用二维基准点缩放

与上一节的旋转原理相同，通过组合平移和旋转的操作得到

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & x_f \\ 0 & 1 & y_f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -x_f \\ 0 & 1 & -y_f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} s_x & 0 & x_f(1-s_x) \\ 0 & s_y & y_f(1-s_y) \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

7.4.6 通用二维定向缩放

原理与上面介绍的相同，但是目的是为了在某一方向上完成缩放而不影响其他方向。

$$R^{-1}(\theta) \cdot S(s_1, s_2) \cdot R(\theta)= \begin{bmatrix} s_1 cos^2 \theta + s_2 sin^2 \theta & (s_2 - s_1)cos\theta sin\theta & 0 \\ (s_2 - s_1)cos\theta sin\theta & s_1 sin^2 \theta + s_2 cos^2 \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

7.4.9 二维刚体变换

只包含平移和旋转的变换称为刚体变换。
二维刚体变换矩阵一般形式为

$$\begin{bmatrix} r_{xx} & r_{xy} & tr_x \\ r_{yx} & r_{yy} & tr_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{7.45}$$
矩阵(7.45)具有 左上角的二维矩阵是正交矩阵 这个性质
即将子矩阵的每行（或者每列）作为一个向量，他们将组成正交向量组。
每个向量具有单位长度
$$r_{xx}^2 + r_{xy}^2 = r_{yx}^2 + r_{yy}^2 = 1$$
且他们正交（数量积为零）
$$r_{xx}r_{yx} + r_{xy}r_{yy} = 0$$

7.5 其他二维变换

7.5.1 反射

7.5.2 错切

7.8 二维坐标间的变换

一个在笛卡尔坐标系$xy$中用坐标点$(x_0, y_0)$作为原点及方向角$\theta$指定的笛卡尔坐标系$x'y'$
为了将对象描述从$x'y'$变换到$xy$坐标，必须建立把$x'y'$轴叠加到$xy$轴的变换，这需要分两步进行

1. 将$x'y'$系统的坐标原点$(x_0,y_0)$平移到$xy$坐标系的原点$(0,0)$
2. 将$x'$轴旋转到$x$轴上

用矩阵表示为

$$M_{xy,x'y'} = R(-\theta) \cdot T(-x_0, -y_0)$$