Computing the Pixel Coordinates of a 3D points

计算机图形学 Scratchapixel

---

Chapter2 Mathematics of Computing the 2D Coordinates of a 3D Point

local coordination
global coordination

local coordination 可以由基于global coordination 的3个单位向量和1个点确定，假设一个local coordination的原点在$(c_{30},c_{31},c_{32})$处，三个坐标轴的单位向量分别为$(c_{00},c_{10},c_{20}),(c_{01},c_{11},c_{21}),(c_{20},c_{21},c_{22})$那么以下$4*4$的矩阵可以表示这个local coordination

$$\begin{bmatrix} \color{red}{c00} & \color{red}{c01} & \color{red}{c02} & 0 \\ \color{green}{c10} & \color{green}{c11} & \color{green}{c12} & 0 \\ \color{blue}{c20} & \color{blue}{c21} & \color{blue}{c22} & 0 \\ \color{purple}{c30} & \color{purple}{c31} & \color{purple}{c32} & 1 \end{bmatrix}$$
一般的

$$M= \begin{bmatrix} \color{red}{c00} & \color{red}{c01} & \color{red}{c02} & c03 \\ \color{green}{c10} & \color{green}{c11} & \color{green}{c12} & c13 \\ \color{blue}{c20} & \color{blue}{c21} & \color{blue}{c22} & c23 \\ \color{purple}{c30} & \color{purple}{c31} & \color{purple}{c32} & c33 \end{bmatrix} \begin{matrix} \to \color{red}{x-axis} \\ \to \color{green}{y-axis} \\ \to \color{blue}{z-axis} \\ \to \color{purple}{position} \\ \end{matrix}$$
这个矩阵称为 local-to-world matrix
有
$$P_{world} = P_{local}*M$$
相应的，有
$$P_{local} = P_{world}*M^{-1}$$
the inverse of M ($M^{-1}$) 称为world-to-local coordination

camera coordiation 摄像机坐标

摄像机坐标的x，y轴和世界坐标的x，y轴相同，z轴与世界坐标的z轴相反。
把 camera coordination 作为 local coordination ，利用上面的方法可以将world coordination 变为 local coordination ，之后在camera coordination中进行其他的变换。

projection devide

求世界坐标系中的一点在幕布上的投影，利用的几何关系为三角形相似，图
见此
求P'的过程

$$\frac{P.y}{P.z}=\frac{P'.y}{1} \\ \\ P'.y = \frac{P.y}{P.z}$$
这个过程称为 projection devide
在camera coordination 中，有
$$P'_{camera}.x = \frac{P_{camera}.x}{P_{camera}.z} \\ \\ P'_{camera}.y = \frac{P_{camera}.y}{P_{camera}.z}$$
因为$P_{camera}.z$的值为负（为正的点“不可见”），所以上面两个式子算出来的$P'_{camera}.x,P'_{camera}.y$会与P点相应的坐标值的符号相反，这是没有必要的，所以一般写为
$$P'_{camera}.x = \frac{P_{camera}.x}{-P_{camera}.z} \\ \\ P'_{camera}.y = \frac{P_{camera}.y}{-P_{camera}.z}$$

clip bounded ragion

将所有点的P'点都计算出来之后，超出可视区域的点是不可见的，所以不予进行接下来的变换。即

$$visible \left\{ \begin{aligned} &= yes \ \ \ |x| < \frac{W}{2} and \ |y| < \frac{H}{2} \\ &= no \ \ \ otherwise \end{aligned} \right.$$
x是P’在投影面上的x坐标，y是在投影面上的y坐标
W,H代表宽和高

NDC (Nomalize Device Coordinate)

坐标单位化，为了使camera coordination里的点在不同尺寸的屏幕上显示，需要将坐标单位化。利用下面的关系

$$P'_{normalized}.x = \frac{P'.x + width/2}{width}\\ P'_{normalized}.y = \frac{P'.y + height/2}{height}$$

Raster space

将NDC坐标乘上像素宽度，即可转化成各个尺寸下的显示坐标

$$P'_{raster}.x = \lfloor P'_{normalize}.x * PixelWidth \rfloor \\ P'_{raster}.y = \lfloor(1 - P'_{normalize}.y) * PixelHeight \rfloor$$