@Dale-Lin 2017-08-23T04:56:48.000000Z 字数 2354 阅读 1868

级数

高等数学

概念：若 { a_n } 为无穷数列，称所有 { a_n } 的项的和为级数。当n→无穷时，a_n称为级数的一般项。

收敛性：S_n 为部分和，当n→无穷时 S_n 和级数相同。

若此时S_n=s，则称该级数收敛于s（=s）；
若当n→无穷时S_n≠S_n+1，则S_n（n→无穷) 不存在，称该级数发散。

注：定义法也是判断级数收敛与否的一种办法，尤其是遇到 a_n+1-a_n，或是能拆项的级数。

收敛级数的五个性质（课本P_254~256）：

常数项级数

P级数
定义：a_n=n^-p 的级数称为P级数；当 p=1 时，称为调和级数，调和级数发散。
性质：当 p≤1 时，P级数发散；当 p＞1 时，P级数收敛。
几何级数（等比数列构成的级数）
定义：a_n=c·qⁿ（c为常数，c≠0）的级数称为几何级数。
性质：当 |q| ≥1 时，几何级数发散（不满足级数收敛的必要条件）；当 |q| ＜1 时，几何级数收敛，为（cq/1-q），即首项/(1-公比)

正项级数的敛散性
定义：a_n≥0的数列构成的级数称为正项级数。
性质：S_n≤S_n+1，即S_n（部分和）单调递增。

若无上界，这个正项级数趋于正无穷；若有上界，这个正项级数收敛。

判断方法：
① 比较审敛法
设a_n，b_n都是正项数列
极限形式：若an≤bn，且bn构成的级数收敛，则an构成的级数也收敛；若an构成的级数发散，则bn构成的级数发散。

若 b_n/a_n 在 n→无穷 时为l（会用到求极限知识）(0 < l < +无穷)，则an和bn构成的级数敛散性一致。

② 比值审敛法
设a_n为正项数列
若 a_n+1/a_n 在n→无穷时 = ρ，则：
ρ<1 时，a_n构成的级数收敛；
ρ>1 时，a_n构成的级数发散；
ρ=1 时，不适用比值审敛法。

注：级数有阶乘，必用比值法！

③ 根值审敛法
a_n是正项数列
n→无穷时，a_n^1/n = ρ，则：
ρ<1 时，a_n构成的级数收敛；
ρ>1 时，a_n构成的级数发散；
ρ=1 时，不适用根值审敛法。

注：带n次，必用根值法

交错级数
定义：构成级数的每一项数列正负交错，则称该级数为交错级数。

判断方法：
① 审敛法（莱布尼兹法）
设交错数列 (-1)^n-1a_n ( a_n>0 , n=1,2,3...)。
若a_n单调递减，且当n→无穷，一般项a_n=0（级数收敛必要条件），则：
该数列构成的级数收敛，且S≤a₁

注：对于交错级数，a_n单调递减是得出收敛结论的必要条件；否则不能判断。

注：级数项取绝对值，提高发散性。

概念：
1. a_n收敛，而|a_n|构成的级数发散，则称a_n构成的级数称条件收敛。
2. a_n收敛，|a_n|构成的级数也收敛，则称a_n构成的级数绝对收敛。

性质：若a_n构成的级数绝对收敛，则a_n构成的级数和|a_n|构成的级数都收敛。

定义：a_nxⁿ (n∈[0,+∞], n∈Z)、a_n(x-x₀)ⁿ (n∈[0,∞], n∈Z) 这两种数列构成的级数称为幂级数。起始部分为常数项，只是形式上写成 xⁿ, n=0，其实与x无关系。
幂级数就是由幂所加的和。

不妨设a_n=0，用一个常数c代换x得到一个常数项级数（无x）。
若这个常数项级数收敛，则称这个常数c为该幂级数的收敛点；若这个常数项级数发散，则称这个常数c为该幂级数的发散点。
所有收敛点构成的集合称为收敛域。
所有发散点构成的集合称为发散域。

定义：
存在R≥0，
当x∈(-R,R)时，a_nxⁿ 构成的级数收敛；
当x∈(-∞,-R)∪(R,+∞)，即 |x|>R 时，a_nxⁿ 构成的级数发散；
当 x=-R 或 x=R 时，收敛与发散皆有可能（取决于具体级数）。

就称R为收敛半径。

Abel定理：
若存在c₁≠0，使a_nx_n收敛，则当|x|<|c₁|时，x使a_nx_n绝对收敛；若存在c₂≠0，使使a_nx_n发散，则当|x|>|c₂|时，x使a_nx_n发散。

推论：
- 对于幂级数a_nxⁿ（如果是(x-x₀）ⁿ，设为tⁿ)，当n→∞时，设|a_n+1/a_n|=ρ：
  若ρ=0，则R=+∞；
  若ρ=+∞，则R=0；
  若0<ρ<+∞，则R=1/ρ。（有阶乘必用）
- 对于幂级数，当n→∞时，设|a_n|^1/n=ρ：
  若ρ=0，则R=+∞；
  若ρ=+∞，则R=0；
  若0<ρ<+∞，则R=1/ρ。（有n次必用）
- 若幂级数，在x=x₀处条件收敛，则R=|x₀|。
- 若存在x次数的gap，且gap为m，则R=(1/ρ)^1/m（开m次方）
注：若0<ρ<+∞，则求出R=1/ρ后，再单独检查x=±R时的收敛性。

对任意x∈(-R,R)，设幂级数收敛于S(x)（因为收敛于几和x有关），则称S(x)为和函数。

注：展开时x的范围为f(x)的定义域和幂级数的收敛域的交集。做题时要说明。

方法：

直接法：若f(x)在x=x₀的邻域内任意阶可导，则f(x) = f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!·(x-x₀)ⁿ 从n=0到∞的和，称泰勒级数。(x-x₀)的幂级数。
特别地，若x₀=0，则f(x) = f⁽ⁿ⁾(0)/n!·(x)ⁿ 从n=0到∞的和，又称麦克劳林级数。x的幂级数。

计算方法：先求n阶导数，再代入公式得到级数每一项，判断收敛域，求出x范围。
间接法：利用逐项可导性或逐项可积性。