Three-Body System

计算物理作业

学号： 2013301020085

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摘要

本次作业完成第12次作业-chapter4_problem4.16，讨论了太阳、木星和地球三体系统在木星质量变化时的轨道情况。用vPython对系统轨道进行了展示。

背景介绍

在天体运动中，当行星质量不远小于中心天体质量时，中心天体不再能够近似为相对体系质心静止的状态，若此时体系只有两个天体，则形成双星系统。在太阳系中，可将太阳和木星视作双星系统，地球在这个系统中运动，这便形成了一个简单的三体系统。当木星质量接近太阳时，地球的运动轨迹将发生显著变化。

正文

实现原理

天体的运动方程

令$G=1$，由Euler-Cromer法有太阳的运动方程为

$$\vec{a}_{S,i+1}=\frac{m_J}{d^2_{{SJ},i}}\frac{\vec{r}_{J,i}-\vec{r}_{S,i}}{|\vec{r}_{J,i}-\vec{r}_{S,i}|},\vec{a}_{J,i+1}=\frac{m_S}{d^2_{{SJ},i}}\frac{\vec{r}_{S,i}-\vec{r}_{J,i}}{|\vec{r}_{S,i}-\vec{r}_{J,i}|}\tag{1}$$ $$\vec{a}_{E,i+1}=\frac{m_J}{d^2_{{JE},i}}\frac{\vec{r}_{E,i}-\vec{r}_{J,i}}{|\vec{r}_{E,i}-\vec{r}_{J,i}|}+\frac{m_S}{d^2_{{SE},i}}\frac{\vec{r}_{E,i}-\vec{r}_{S,i}}{|\vec{r}_{W,i}-\vec{r}_{S,i}|}\tag{2}$$ $$\vec{v}_{\left\{S,J,E\right\},i+1}=\vec{v}_{\left\{S,J,E\right\},i}+\vec{a}_{\left\{S,J,E\right\},i+1}\Delta{t}\tag{3}$$ $$\vec{r}_{\left\{S,J,E\right\},i+1}=\vec{r}_{\left\{S,J,E\right\},i}+\vec{v}_{\left\{S,J,E\right\},i+1}\Delta{t}\tag{4}$$ 其中$m_S$为太阳质量，$m_J$为木星质量，$d_{SJ}、d_{SE}、d_{JE}$分别为太阳到木星、太阳到地球、木星到地球的距离。

初速度设置

若要使运动轨道为圆轨道， 则应满足$F_{引力}=f_{向心力}$，对太阳和木星有

$$\frac{Gm_Sm_J}{d^2_{SJ}}=m_\left\{S,J\right\}\frac{v^2_\left\{S,J\right\}}{r'_\left\{S,J\right\}}\tag{5}$$ 又易知 $$r'_\left\{S,J\right\}=\frac{m_\left\{S,J\right\}}{m_S+m_J}d_{SJ}\tag{6}$$ 令$m_S/m_J=k$于是 $$|v_{0,S}|=\sqrt{\frac{m_J}{(1+k)d_{SJ}}},|v_{0,J}|=\sqrt{\frac{k^2m_J}{(1+k)d_{SJ}}}\tag{7}$$ 地球的初速度和初始位置通过对实际太阳系等比例缩放即可得到。

程序实现

python源码地址：
threeBody

结果分析

• 当木星质量为实际质量时，几乎看不到地球轨道的扰动
  
• 当木星质量增加到10倍时，可以发现地球轨道发生较小的偏扰
  
• 当木星质量增加到100倍时，地球轨道发生较大偏差
  
• 当木星质量等于太阳质量时，地球成为双星系统中近邻天体的卫星
  
• 当木星质量为太阳两倍时，出现混沌
  

结论

在这类双星系统附加小星体的系统中，当小行星距离质量较大的大星体较近时，行星将围绕大星体做稳定的运动；当距离质量较小的星体较近时，行星将趋于混沌。