Simple Harmonic Motion

计算物理作业

学号： 2013301020085

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摘要

本次作业完成第8次作业-chapter3_problem3.4，利用Euler-Cromer方法得出了一般简谐振动在位移指数项参数不同的情况下，振动周期与振幅之间的关系。

背景介绍

对于一般的简谐振动，可用以下运动方程描述

$$\frac{d^2x}{dt^2}=-kx^{\alpha}\tag{1}$$ 这里我们令$k=1$。当$\alpha=1$时，简谐振子的周期与振幅无关；而当$\alpha=3$时，振子的周期增大而减小。

正文

实现原理

Euler-Cromer法近似

参考教材，每一时刻谐振子的状态可用如下公式得到，有

$$\omega_{i+1}=\omega_{i}-x^{\alpha}_{i}\Delta{t}\tag{2}$$ $$x_{i+1}=x_{i}+\omega_{i+1}\Delta{t}\tag{3}$$ 其中$\omega=\frac{dx}{dt}$。这里令初始相位为$\frac{\pi}{2}$，令振幅分别为1、0.5、0.2，$\alpha$分别为1、3，对这几种情况进行比较分析。

程序实现

python源码地址：simple hamonic

结果分析与结论

• 当$\alpha=1,k=1$时，振子为简谐振子，从下图可以看出，振子的振动频率与振幅无关
  

• 当$\alpha=3,k=1$时，振子为非简谐振子，从下图可以看出，振子的振动频率与振幅成正比
  

致谢

参考了岳绍圣同学的作图姿势。