Binary Star System

计算物理作业

学号： 2013301020085

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摘要

本次作业完成第11次作业-chapter4_problem4.7，讨论了双星系统在不同质量比的情况下运动轨道的变化。用vPython对双星运动轨道进行了展示，并对初始速度对轨道形状的影响做了简单讨论。

背景介绍

在天体运动中，当行星质量不远小于中心天体质量时，中心天体不再能够近似为相对体系质心静止的状态，若此时体系只有两个天体，则形成双星系统。

正文

实现原理

天体的运动方程

令$G=1$，由Euler-Cromer法有

$$\vec{a}_{sun,i+1}=\frac{m}{d^2_i}\frac{\vec{r}_{earth,i}-\vec{r}_{sun,i}}{|\vec{r}_{earth,i}-\vec{r}_{sun,i}|}\tag{1}$$ $$\vec{v}_{sun,i+1}=\vec{v}_{sun,i}+\vec{a}_{sun,i+1}\Delta{t}\tag{2}$$ $$\vec{r}_{sun,i+1}=\vec{r}_{sun,i}+\vec{v}_{sun,i+1}\Delta{t}\tag{3}$$ 其中m为地球质量，d为距离。同理可得到地球的运动方程

初速度设置

若要使运动轨道为圆轨道， 则应满足$F_{引力}=f_{向心力}$，对太阳有

$$\frac{GMm}{d^2}=M\frac{v^2_{sun}}{r'_{sun}}\tag{4}$$ 对地球有 $$\frac{GMm}{d^2}=M\frac{v^2_{earth}}{r'_{earth}}\tag{5}$$ 又易知 $$r'_{sun}=\frac{m}{m+M}d,r'_{earth}=\frac{M}{m+M}d\tag{6}$$ 令$M/m=k$于是 $$v_{0,sun}=\sqrt{\frac{m}{(1+k)d}},v_{0,earth}=\sqrt{\frac{k^2m}{(1+k)d}}\tag{7}$$
当机械能大于等于零，即$E_k+E_p\geq0$时，无闭合轨道，即 $$\frac{Mv^2_{sun}}{2}+\frac{mv^2_{earth}}{2}\geq\frac{GMm}{d}\tag{8}$$ 化简得 $$kv^2_{sun}+v^2_{earth}\geq\frac{2km}{d}\tag{9}$$
其他情况为椭圆轨道。

程序实现

python源码地址：
binaryStar

结果分析

• 当k=1时，即M=m时，两天体于同一轨道运动
  
• 当k=2时，即M=2m时，质量大的天体轨道半径为小的1/2
  
• 当k=4时，即M=4m时，质量大的天体轨道半径为小的1/4
  
• 当k=16时，即M=16m时，质量大的天体轨道半径为小的1/16
  
• 当k=1024时，即M=1024m时，质量大的天体几乎处于静止状态
  
• 改变初始速度大小后，可见轨道变为椭圆，它们具有一个相同的焦点
  
• 实际上，当它们依椭圆轨道运行时，系统总动量不为0，实际的运动轨迹如下图
  

结论

双星系统中，天体相对一个共同的焦点做椭圆运动，其半长轴之比即为质量之比的倒数。