Cannon-Shell Trail Problem

计算物理作业

学号： 2013301020085

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摘要

本次作业完成第6次作业level2，在不计科里奥利力、忽略地球形状与重力加速度随高度改变的情况下，给出了大炮在空间维度精确打击远处物体的解决方案。

正文

实现原理

考虑到方程没有解析解，故需要通过遍历的方法得到从目标位置得到发射的最佳角度和初速度。

欧拉近似法

定义类FlightState用于存储每一时刻的飞行状态，包括水平、垂直位置x、y，水平、垂直速度v_x，v_y，时刻t。 参考教材，有

$$x_{i+1}=x_{i}+v_{x,i}\Delta{t}\tag{1}$$ $$y_{i+1}=y_{i}+v_{y,i}\Delta{t}\tag{2}$$ $$v_{x,i+1}=v_{x,i}+a_{x,i}\Delta{t}\tag{3}$$ $$v_{y,i+1}=v_{y,i}+a_{y,i}\Delta{t}\tag{4}$$ $$a_{x, i}=-(1-\frac{Ay_i}{T_0})^\alpha \frac{B_2}{m} v^2_{x,i}\tag{5}$$ $$a_{y,i}=-(1-\frac{Ay_i}{T_0})^\alpha \frac{B_2}{m} v^2_{y,i}-g\tag{6}$$

参数设置

• 重力加速度$g$取$9.8m/s$，$B/m$取$4×10^{-5}N/m$；
• 设置空气阻力影响因子factor来对空气阻力在不同高度进行修正；
• 设置发射角$\theta$，令其从$90^\circ$通过固定的值向下遍历，并通过计算三角函数来得到水平和垂直的初速度；
• 炮弹有效摧毁半径为$10m$，设炮弹最大初速度为$1000m/s$，通过$\sqrt{\frac{|y_f-y_0|}{1000}}$向下递减遍历；
• 由于实际中炮弹需要落在某一特定高度，故需要对欧拉法算得的最后落点进行修正 $$x'=\Delta{y}\cdot tan\beta=(y-y_0)\frac{v_x}{v_y}$$ $$y'=y_0$$ 其中$y_0$为目标垂直方向坐标；

程序实现

python源码地址：Cannon

结果分析与结论

• 输入目标位置为x=20000m, y=2000m，结果如下，当计算击中目标后退出程序并保存打印发射角和发射初速度，对目标进行打击
  

程序执行完成后得到打击参数如下

Target position:
X: 20000.000000
Y: 2000.000000

Shooting angle: 48.600000
Shooting Speed: 584.738976

Attacking accuracy: 9.504954

即从$48.6^\circ$以$584.74m/s$的速度发射炮弹可以击中目标，误差为$9.5m$。

致谢

参考了老师的代码模板。