Poincare Section of Driven Nonlinear Pendulum

计算物理作业

学号： 2013301020085

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摘要

本次作业完成第9次作业-chapter3_problem3.12(level_1)，首先利用Euler-Cromer方法，得出了单摆做受迫力简谐变化的受迫振动时，在受迫力大于阻尼力的情况下，摆动频率和摆角之间的关系；然后分析得到了在受迫力处于不同相位时单摆的奇异吸引子；最后将各个相位时的吸引子进行对比得出结论。

背景介绍

对于做受迫振动的非线性摆，可用以下运动方程描述

$$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin\theta-q\frac{d\theta}{dt}+F_Dsin(\Omega_Dt)\tag{1}$$ 当$F_D<q$时，系统在阻尼的作用下振动振幅逐渐减小为0；
当$F_D=q$时，受迫力与阻尼力互相抵消，系统做一般简谐振动；
当$F_D>q$时，系统将出现混沌现象，但其吸引子变现为Poincare Section结构。

正文

实现原理

Euler-Cromer法近似

参考教材，每一时刻谐振子的状态可用如下公式得到，有

$$\omega_{i+1}=\omega_{i}-[\frac{g}{l}sin\theta_i+q\omega_i-F_Dsin(\Omega_Dt_i)]\Delta{t}\tag{2}$$ $$\theta_{i+1}=\theta_{i}+\omega_{i+1}\Delta{t}\tag{3}$$ 其中$\omega=\frac{dx}{dt}$。当$\theta$超过范围$[-\pi,\pi]$时，通过加\减$2\pi$来进行调整。

数据采样

对受迫振动相位为$\alpha=2\pi n+\Delta\alpha$的相点进行采样时，需要满足

$$t\approx\frac{\alpha}{\Omega_D}=\frac{2\pi n+\Delta\alpha}{\Omega_D}\tag{4}$$ 变换后有 $$\left|\frac{\Omega_Dt-\Delta\alpha}{2\pi}-n\right|<e\tag{5}$$ 其中e为小量，这里可取$e=\frac{\Omega_Ddt}{2\pi}$,又由于n为整数，所以有 $$\left|\frac{\Omega_Dt-\Delta\alpha}{2\pi}-n\right|\ge\frac{\Omega_Dt-\Delta\alpha}{2\pi}-\left\lfloor\frac{\Omega_Dt-\Delta\alpha}{2\pi}\right\rfloor\tag{6}$$ 于是采样条件为 $$\frac{\Omega_Dt-\Delta\alpha}{2\pi}-\left\lfloor\frac{\Omega_Dt-\Delta\alpha}{2\pi}\right\rfloor<\frac{\Omega_Ddt}{2\pi}\tag{7}$$

程序实现

python源码地址：
pundulum-model
pundulum-model_plus

结果分析

取参数 $F_D=1.2,q=0.5,l=g=9.8,\Omega_D=\frac{2}{3},dt=0.04$
取初值 $\theta(0)=0.2,\omega(0)=0$
- 下面两幅图为当受迫振动相位分别为$0,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4},\pi,\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4}$时的吸引子图像


从这8幅图中可以看出

1.在受迫振动相位，但摆动频率随摆角的变化有一定规律
2.吸引子随受迫振动相位周期性

• 可以猜测吸引子的周期性变化是连续的，于是在将相位因子做进一步细分之后得到了下图

• 进一步猜测图像中的点事连续得到的，然而从下图两发现图像的点事分散得到的

结论

通过比较不同受迫振动相位时的Poincare section，观察其变化规律以及形成规律，发现了该模型的吸引子为奇异吸引子，其$\omega-\theta$图像在受迫相位一定的条件下拥有某种规律，而且随着受迫相位的而产生周期性变化，对于产生这种现象的原因则还有待考究。