量子振荡和朗道能级

固体物理

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1. 不加磁场时候的电子在加磁场之后如何填充到朗道能级？

对于自由电子而言，如果不加磁场，电子分布在准连续的能带上面。能带的能量具有以下形式：

$$E(k) = \frac{\hbar^2k^2}{2m}$$
以二维自由电子气为例，计及自旋的能态密度为
$$DOS = \frac{mL^2}{\pi \hbar^2}$$
可以想象，一个系统的量子态在加磁场前后是不变的，但每个量子态所占据的能级可以发生变化。如果我们给二维电子气加一个垂直磁场，能量本征值将由准连续的能带变为一系列分立的朗道能级
$$E_n = (n+\frac12)\hbar\omega_0$$
其中，$\omega_0 = qB/m$
能量本征值的这种改变会使不同量子态的电子重新改组，但量子态总数保持不变。可以猜想（当然这个猜想可以被证明），由于相邻的朗道能级间隔为$\hbar\omega_0$，每一个朗道能级应该刚好容纳加磁场之前能量间隔为$\hbar\omega$范围内的量子态。这样我们可以得到朗道能级的简并度
$$D = 不加磁场的能态密度\times \hbar\omega_0 = \frac{mL^2}{\pi \hbar^2}\times \hbar\omega_0 = \frac{qBL^2}{\pi\hbar}$$

2. 加磁场前后系统能量如何变化？

如果所加磁场刚好使某个朗道能级填充满，则系统的能量保持不变；如果不是刚好填充满，则相对于加磁场前系统能量会增加；如果磁场连续变化，则系统能量会以周期$1/B$变化。可以参考关于量子霍尔效应的说明图

Fig.1 朗道能级的填充（具体也可参见黄昆的固体物理p267）

3. 能量的变化周期跟费米面有什么关系？

我们很容易可以推出能量的变化周期，因为朗道能级刚好填满时的系统能量都是不变的。
第$\lambda$个朗道能级填满时有$\lambda_1D_1 = N$，此时有

$$\frac1B_1 = \lambda\frac{qL^2}{\pi\hbar N}$$
第$\lambda+1$个朗道能级刚好填满时，同样可以推出
$$\frac1B_2 = (\lambda+1)\frac{qL^2}{\pi\hbar N}$$
因此能量的变化周期为
$$\Delta(\frac1B) = (\frac1B_2-\frac1B_1) = \frac{qL^2}{\pi\hbar N} = \frac{2\pi q}{\hbar S_F}$$
其中$S_F = 2\pi^2 \frac{N}{L^2}$为二维自由电子气费米圆的面积（参见黄昆固体物理p268）。

4. 朗道能级引起的周期性变化会导致哪些宏观的可观测效应？

由朗道量子化引起的振荡主要有两种：一个是电阻的振荡，称为SdH振荡；另一个是磁化率的振荡，称为dHvA振荡（德哈斯-范阿尔芬振荡）。除了这两种之外，在比热容以及热电势等物理量中也观察到了振荡，也和朗道分立能级有关。

需要注意一点，有时候在SdH中观察不到磁化率的振荡，但在磁阻中可以观察到振荡，这是因为对应于费米面的极值轨道是开轨道。（参见黄昆固体物理p273）

5. 观测到这些效应需要哪些必要条件？

观察到量子振荡主要有以下三个必要条件：

• 极低温
• 强磁场
• 高质量的样品

根据Lifshitz-Kosevich公式（LK公式）（Science 342, 1490 (2013)；book：Magnetic Oscillations in Metals ），电阻的量子振荡可以由下式描述：

$$\Delta R = R_TR_DR_scos2\pi (\frac FH-\gamma+\delta)$$
其中$R_T,R_D,R_s$分别是随温度、散射和spin splitting相关的因子，刚好对应于观察到量子振荡所必须的三个条件。

6. 由量子振荡如何得到费米面的信息？

根据Onsager关系(Book: Magnetic Oscillations in Metals)，量子振荡的振荡频率正比于垂直于磁场方向费米面的极值面积

$$F = \frac{\hbar}{2\pi e}S_F$$
$$A = \frac{\hbar}{2\pi e}$$
可见，量子振荡频率和磁场方向紧密相关。如果我们改变磁场方向，便可以得到不同方向的费米面的极值面积，进一步便有可能mapping出费米面的形状。因此，量子振荡便成了一种研究金属费米面的有力工具。

我们可以通过改变样品方位或所加磁场的方向，来得到不同方向的费米面的极值面积。以圆柱面为例，如果磁场与$z$方向夹角为$\theta$，则$F\propto S_F \propto \frac{1}{cos(\theta)}$。（PRL 101, 216402 (2008)）

7. 由量子振荡如何得到电子的有效质量？

如果我们能得到量子振荡的幅度随温度的衰减关系，便可以拟合得出电子有效质量。
如果我们设$m_r = m^*/m_e$，则由LK公式中$R_T$的表达式

$$R_T = \alpha\frac{m_rT}{B}/sinh(\alpha\frac{m_rT}{B})$$
式中的
$$\alpha = \frac{2\pi^2k_Bm_e}{e\hbar} = 14.69 T/K$$
其中，$m^*$是电子有效质量，$m_e$是电子质量。

8. 由量子振荡如何判断金属中的电子是否有非平凡的Berry Phase（贝利相位）?

根据Lifshitz-Onsager量子化定则，朗道能级的index(用n表示)和1/H成线性关系

$$n = \frac{\hbar S_n}{2\pi eH} +\gamma -\delta\tag{A}$$

我们可以根据量子振荡的位置作出n随1/H的变化关系并做线性拟合，则直线的斜率即为量子振荡的频率$B = \frac{\hbar S_n}{2\pi e}$，直线的截距为$\gamma - \delta$。这里的$\gamma$是和$Berry Phase$有关的Onsager相位因子（ Rev. Mod. Phys. 82,1959 (2010)）

$$\gamma = \frac 12 - \frac{\phi_B}{2\pi}$$
对于Berry Phase为零的系统，$\phi_B = 0$，因而$\gamma = \frac 12$；对于具有线性色散关系的无质量的狄拉克材料，其贝利相位$\phi_B = \pi$，因此$\gamma = 0$。（ Phys. Rev. Lett. 82, 2147(1999)）
再考虑相位因子中的$\delta$，是一个额外的相移因子。依赖于不同的费米面，其取值为$-\frac 18 < \delta <\frac 18$.
结合以上两点，由式（A）所拟合的直线的截距有两个范围

• 对于$\phi_B = 0$，$\gamma = \frac 12$，直线截距$0.375 < \gamma - \delta < 0.625$
• 对于$\phi_B = \pi$，$\gamma = 0$，直线截距$-0.125 < \gamma - \delta < 0.125$。