霍尔效应和能斯特效应测量中的符号惯例

Thermoelectricity

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1. 霍尔效应测量的符号惯例

首先让我们来回顾一下欧姆定律（由电场引起电流）

$${J} = \sigma E$$
写成张量形式为[1]
$$J_i = \sigma_{ij}E_j$$ 。

此处的张量形式用了爱因斯坦惯例，省去了求和符号。写成完整的形式应该是

$$J_i = \sum_{j = x,y}{\sigma_{ij}E_j}$$ .
例如，$J_x$,$J_y$分量写出来就是
$$J_x = \sigma_{xx}E_x+\sigma_{xy}E_y\tag{1}$$ , $$J_y = \sigma_{yx}E_x+\sigma_{yy}E_y\tag{2}$$ .
同样地欧姆定律还可以写成（由电流引起电场），
$$E = \rho J$$
其张量形式为$E_{i} = \rho_{ij}J_j$，同样也用了爱因斯坦惯例.
这样，$E_x$,$E_y$分量写出来就是
$$E_x = \rho_{xx}J_x + \rho_{xy}J_y\tag{3}$$ , $$E_y = \rho_{yx}J_x + \rho_{yy}J_y\tag{4}$$

接下来让我们看看一般性的测量中，我们如何定义Hall的正负。以下图为例，其中电流沿x方向($I_x$)，磁场沿z方向，则按照右手定则判断出来霍尔电场沿y方向，即$E_y$。根据式(4)，由于$J_y = 0$，我们可以得到

$$\rho_{yx} = \frac{E_y}{J_x}$$
同样地根据式(3)我们得到$E_x = \rho_{xx}J_x$。这样我们便可以根据公式计算出
$$\sigma_{xy} = \frac{\rho_{yx}}{\rho_{xx}^2+\rho_{xy}^2}\tag{5}$$

图1. 霍尔效应测量中的符号定义
根据以上讨论我们可以看出实验测量中如果我们给x方向加恒定电流，而得到y方向的霍尔电压，由此计算出的其实是$\rho_{yx} = \frac{E_y}{J_x}$.

2. 能斯特效应测量的符号惯例

综合考虑电场和温度梯度，总的电流可以写作[2]

$$J_e = \sigma E - \alpha \nabla T$$

此处的$J_e，E，\nabla T$分别是电流，电场，和温度梯度的向量，$\sigma$和$\alpha$是电导率张量和热电张量。当我们测量样品的热电信号时，可以认为没有电流流过样品，即$J_e = 0$.这样可以得到

$$\sigma E = \alpha\nabla T\tag{6}$$

我们可以通过以下方式来定义张量S，即$S = \alpha \rho$,这样进一步可以有$\alpha = \sigma S$.
如果我们假设$\alpha,\sigma,S$满足条件$A_{xy} = -A_{yx}$以及$A_{xx} = A_{yy}$，则以上张量的定义满足交换律，即$S = \alpha \rho = \rho \alpha$，以及$\alpha = \sigma S = S\sigma$.
利用$\alpha$的定义，我们可以将式(6)写为$\sigma\cdot E = \sigma\cdot S\nabla T$,等式两边同乘以$\rho$得到

$$E = S\nabla T\tag{7}$$
此处的$\nabla T$为温度梯度，其方向为温度梯度的方向.需要注意的是，此处为张量方程。根据傅里叶定律$J^Q = -\kappa \nabla T$，热流方向和温度梯度的方向相反，则我们可以用$-\nabla T$来代表热流方向。
在实际能斯特测量中的几何关系如图2. 其中$-\nabla_x$代表热流方向，指向x轴方向；磁场沿z方向；由此根据右手定则判断出来的y方向则为电场正向.

图2. 能斯特效应测量中的符号定义

由于热流方向沿x轴正向，即$-\nabla T_x$为正，因此我们可将其记作$|\nabla T_x| = -\nabla T_x$.根据式(7)，我们可将其拆开写成

$$E_x = S_{xx}\nabla T_x + S_{xy}\nabla T_y$$ , $$E_y = S_{yx}\nabla T_x + S_{yy}\nabla T_y\tag{8}$$
在实验测量中由于$\nabla T_y = 0$,上式可进一步写成
$$E_x = S_{xx}\nabla T_x$$ , $$E_y = S_{yx}\nabla T_x\tag{9}$$
用热流方向来定义的话，我们可以将上式写成
$$S_{xx} = -\frac{E_x}{|\nabla T_x|}$$ ,
$$S_{yx} = -\frac{E_y}{|\nabla T_x|} = -S_{xy}$$
因此按照图2的测量几何我们可以定义$S_{xy} = \frac{E_y}{|\nabla T_x|}$,这种定义方式和文献中的保持了一致[3]。这种定义方式的物理意义为：对于Seebeck效应，$S_{xx}>0$表示电场方向与热流方向相反，$S_{xx}<0$表示电场方向与热流方向相同。
对于Nernst效应，如果热流沿x方向，磁场沿z方向，则$S_{xy}$为正表示产生的Nernst电场沿y轴正方向，则$S_{xy}$为负表示产生的Nernst电场沿y轴负方向。
Seebeck用一种比较直观的定义还可以写成
$$S_{xx} = -\frac{V_2 - V_1}{T_2 - T_1}$$
而Nernst对应于电压可以写成
$$S_{xy} = \frac{V_y}{\Delta T}\cdot \frac{l}{w}$$