磁学基础之原子的磁性

磁学

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内容概述

本文从电磁学中的磁矩概念出发，从微观角度解释了磁矩的来源，依次介绍了电子的轨道磁矩和自旋磁矩、核磁矩、原子磁矩、分子磁矩，并总结了各种磁矩的大小。在文章最后介绍了磁矩和磁感应强度之间的关系，并通过一个实例估算了原子内部磁场的大小。
微观粒子的磁矩是了解宏观材料磁性的基础。在本篇文章的基础上，本人会在接下来的一篇文章中介绍固体的磁性，敬请大家关注。

磁矩

一个任意形状的载流平面线圈的磁矩用$m$表示，其表达式为

$$m = IS\overrightarrow{e_n}\tag{1}$$
其中，I为载流线圈的电流，S为线圈围成的面积，$\overrightarrow{e_n}$为根据电流的右手螺旋确定的单位向量，我们称其为载流线圈在空间的取向。

磁矩最重要的性质（事实上，这就是磁矩的定义）就是在外磁场的作用下会对线圈产生力矩

$$L = m\times B$$
我们学过电磁学后知道，载流线圈在均匀外磁场中不受力，但受到一个力矩，这力矩总是试图使线圈的磁矩$m$转到磁感应强度$B$的方向。

磁矩在磁场中的势能：

$$U = -\mu\cdot B$$
由于势能$U$的存在，磁矩在非均匀磁场中会收到一个力：
$$F = -\nabla U = \nabla(\mu\cdot B)$$

磁矩的来源

总的来说，任何体系磁矩的来源可以分为两类：（1）电荷运动产生的电流（轨道磁矩）；（2）基本粒子（比如电子）的固有磁矩。

第一种情况我们可以根据系统的电流分布利用(1)式去计算，而对于基本粒子的固有磁矩则是一个定值，通常是从实验上测得的。系统总的净磁矩是以上两类贡献的矢量和。以最简单氢原子为例，其磁矩是以下几类磁矩的矢量和:
1. 电子的固有磁矩；
2. 电子围绕质子做轨道运动产生的磁矩；
3. 质子的固有磁矩。

类似地，我们常见的磁铁，其磁矩也是各类磁矩的矢量和，包括磁性材料中未配对电子的固有磁矩和轨道磁矩，以及核磁矩。

接下来，我们系统地总结一下关于轨道磁矩和基本粒子的固有磁矩的一些基本结论。

电子磁矩

电子的轨道磁矩

前面提到，任何载流平面线圈会携带一个磁矩。因此，原子钟电子绕原子核旋转也必定有一个磁矩。通过简单的经典计算可以得到[1]，电子轨道运动所产生的磁矩$\mu$与轨道角动量$L$的关系为

$$\mu = -\gamma L$$
其中$\gamma \equiv \frac{e}{2m_e}$，称为旋磁比，$e$为电子电荷，$m_e$为电子质量。
需要注意的是，电子绕核运动的磁矩$\mu$与其角动量$L$方向相反，这是因为磁矩的方向是根据电流方向的右手螺旋定则定义的，而电子的角动量是根据运动方向的右手螺旋定则定义的。由于电子带负电，因此$\mu$与$L$反向。
在现代物理理论中，角动量是量子化的
$$L = \sqrt{l(l+1)}\hbar$$
可以得到轨道磁矩[2]
$$\mu_l = -\gamma L = -\sqrt{l(l+1)}\frac{e\hbar}{2m_e} = -\sqrt{l(l+1)}\mu_B$$
其中，$\mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e}$称为玻尔磁子，是轨道磁矩的最小单元[3]，$l$为角动量量子数。

角动量的$z$分量为$L_z = m\hbar$，可得轨道磁矩在$z$方向的投影[4]为

$$\mu_{l,z} = -\gamma L_z = -\frac{e\hbar}{2m_e}m = -\mu_Bm$$
其中$m$为磁量子数。

电子的自旋磁矩

对应于轨道角动量，自旋角动量也有一个对应的磁矩，这种磁矩就是粒子的固有磁矩。由于电子和原子核均有自旋，因此也有对应的固有磁矩。电子的固有磁矩为

$$\mu_s = - g_s \mu_B\frac{S}{\hbar} = - g_s \mu_B\sqrt{s(s+1)}$$
其中,$S$为自旋角动量，$s$为自旋角动量量子数，$\mu_B$为玻尔磁子,$g_s\simeq 2$为自旋的朗德g因子,说明电子的固有磁矩应该是经典结果的两倍。
电子自旋磁矩的$z$分量为
$$\mu_{s,z} = -g_s\mu_Bm_s$$
其中，$g_s\simeq 2$，$m_s = \pm\frac12$，因此电子自旋磁矩的大小约为一个$\mu_B$，但由于$g_s$稍稍偏离2，电子自旋磁矩并不精确地等于一个$\mu_B$，准确的$g_s$由量子电动力学理论给出[5]:
$$g_s = 2.00231930419922\pm (1.5 × 10^{−12 })$$
总结一下，电子的磁矩[6]可由下式给出：
$$\mu_e = -\mu_B(g_{e,l}m_l+g_{e,s}m_s)$$
其中$\mu_B$为玻尔磁子，$g_{e,l} = 1$为轨道磁矩的g因子，$g_{e,s}\simeq 2$为自旋磁矩的g因子，$m_l$为轨道磁量子数，$m_s$为自旋磁量子数。因此电子自旋磁矩可近似写为：
$$\mu_e = -(l+2s)\mu_B$$

核磁矩

既然电子的自旋角动量会引入一个磁矩，由于原子核也带有自旋，因此也会引入一个磁矩。原子核由质子和中子构成，“质子和中子都是费米子，自旋角动量和电子一样，都是$\frac12\hbar$。既然原子核是中子和质子所构成，它的自旋就应该是中子和质子的轨道角动量和自旋之和[7]”。

实验发现，对于处于基态的原子核，所有的偶偶核（中子和质子数都是偶数的原子核）的自旋都是零；所有的奇偶核（中子和质子数中有一个是奇数的原子核）的自旋都是$\hbar$的半整数倍；所有的奇奇核（中子和质子数都是奇数的原子核）的自旋都是$\hbar$的整数倍。

对于质子，我们可以类比于电子写出其磁矩：

$$\mu_p = \frac{e\hbar}{2m_p}(l+g_{p,s}s)$$
其中，$m_p$为质子的质量，$g_{p,s}$为质子自旋磁矩的g因子，$s$为质子自旋。我们记$\mu_N = \frac{e\hbar}{2m_p}$，称为核的玻尔磁子，简称核磁子。由于质子质量大约是电子质量的1836倍，因此核磁子就是电子玻尔磁子的$\frac{1}{1836}$，其数值为$\mu_N = 3.152\times 10^{-8} eV/T$。
要确定质子的磁矩，最重要的就是确定$g_{p,s}$。根据狄拉克的理论，它的值应为和电子一样也是2。但施特恩在测量质子磁矩后给出的结果却是$g_{p,s} = 5.6$！与理论值相差很大，很令人吃惊！[8]
那么中子呢？因为中子不带电，原有的理论就不仅给出$g_{n,l} = 0$，而且给出$g_{n,s} = 0$。但是，实验结果却是
$$\mu_n = \frac{e\hbar}{2m_n}g_{n,s}s\\ g_{n,s} = -3.82$$
其中，$m_n$为中子质量，$g_{n,s}$为中子自旋磁矩的g因子。
中子不带电，与轨道角动量相联系的磁矩为零，这十分自然。但是，与自旋角动量相联系的磁矩却不为零，这表明，虽然中子整体不带电，但它内部存在电荷分布。中子自旋磁矩的符号与电子一致，因此，它与电子一样，自旋指向与磁矩相反。
不论是质子的磁矩，还是中子的磁矩，都清楚表明，它们不是点粒子；相反，它们肯定是有内部结构的粒子。这和我们现在所了解到的物理学就是一致的了。
在知道了中子和质子的磁矩数值之后，我们就要询问原子核的磁矩大小。我们这里给出来自核自旋的核磁矩的表示式，
$$\mu_{I,z} = g_I\mu_Nm_I$$
其中，$g_l$为原子核的g因子，不同核有不同的g因子；$\mu_N$为核磁子。由于角动量的空间量子化，原子核的总自旋角动量$I$在空间有不同取向，总共可有$2I+1$个取向。即$m_I = -I,-(I-1),...,I$。定义核磁矩大小（即ngheshuju核数据表中值）为为$m_l$取$I$时的$\mu_{I,z}$的值，即为$g_l\mu_NI$.

原子磁矩

类似于核磁矩，原子的磁矩和原子的总角动量成正比，总角动量可由电子的轨道角动量以及自旋角动量[^comare]通过量子力学中的角动量相加法则得到，记为$J$。则原子磁矩可表示为

$$m_{atom} = g_J\mu_B\sqrt{j(j+1)}$$
这里$j$为总角动量量子数，$g_J$为原子磁矩的g因子，$\mu_B$为玻尔磁子。对应地，磁矩在z方向的分量为
$$m_{atom,z} = -m_Jg_J\mu_B$$
同样，$m_J$可取$2j+1$个值：$-j,-(j-1)...0...+(j-1),+j$。

分子磁矩

分子也是具有磁矩的，而且分子的磁矩也和其所处的能态有关。一般来说，分子的总磁矩由几下几部分贡献组成（按强度大小依次给出）：
- 未配对电子的自旋所引起的磁矩（贡献顺磁性）；
- 电子轨道运动所引起的磁矩（贡献抗磁性）；
- 由核自旋引起的磁矩
下面以我们熟悉的分子为例，看看其分别具有什么磁性：
- 氧分子($O_2$)：由于最外层两个未配对电子的自旋导致其强烈的顺磁性；
- 二氧化碳($CO_2$)：电子的轨道运动导致其展现出抗磁性；
- 氢分子($H_2$)：在弱磁场下展现出核磁性。
- 许多过渡金属化合物也具有磁性。对于第一列过渡金属的高自旋化合物，自旋磁矩是其磁性的主要来源，可以作为其总磁矩的很好的一级近似。未配对电子和其自旋磁矩的关系如下：

各种磁矩的大小及比较

如果你能认真看到这里，那说明你的收获已经很大了，至少我写到这里，我也已经学到了很多东西。但是作为看完本篇文章之后你应该记住的东西，以下这些基本数据将作为你今后的常识。
一般地，微观粒子的磁矩我们总是习惯用$\mu_B$(电子)或者$\mu_N$为单位，这两个数值我们总是很容易查到的，其大小为

$$\mu_B = 5.788\times 10^{-5}eV/T \\ \mu_N = 3.152\times 10^{-8} eV/T \\ $$
可以看出，二者相差三个数量级之多。
因此，我们在谈论微观粒子的磁矩大小时，只需记住它有几个$\mu_B$或者几个$\mu_N$即可。
我们给出几个典型的并且重要的磁矩大小（感觉和别人谈论磁的相关东西时，顺口说出这些数据会感觉自己逼格很高啊）：
$$电子自旋磁矩：\mu_e \simeq -\mu_B\\ 质子磁矩：\mu_p = 2.79\mu_N \\ 中子磁矩：\mu_n = -1.91\mu_N \\ $$
为方便查阅，这里给出一些基本粒子的磁矩大小：

磁矩的相互作用（参见wiki磁矩的Magnetic dipoles）

大家可能会问，你这篇文章不是讲原子的磁性吗？为什么一开始就是讲的磁矩，原子的磁性呢？磁感应强度B呢？现在就让我们来看看磁矩$\mu$和磁感应强度$B$之间的关系。
磁矩，也叫磁偶极矩。我们可以类比电偶极矩，得到磁偶极矩的一些性质。电偶极矩其实就是微观的电极化强度，它和电位移矢量$D$同量纲；类似地，磁偶极矩就是微观上的磁化强度，它和磁场强度同量纲。电偶极矩会在其周围空间激发出一个电场，同样，磁偶极矩会在其周围空间激发出一个磁场，这个磁场和磁矩的关系由下式给出[^magneticdipole]

$$\textbf{B(r)} = \nabla\times \textbf{A} = \frac{\mu_0}{4\pi}(\frac{3\textbf{r}(\textbf{m}\cdot \textbf{r})}{r^5}-\frac{\textbf{m}}{r^3})$$
这个关系式还是有点复杂的，为了方便理解，我们可以通过磁感应线来看看磁偶极子产生的磁场，如下图所示：

那么微观粒子产生的磁场，即磁感应强度到底有多大呢？我们可以做一个很有启发性的讨论[9]。
最开始我们介绍过，磁矩在磁场中会产生一个附加能量
$$U = \mu_s\cdot B = -mu_{s,z}B$$
对于单电子而言，上式给出
$$U = \pm \mu_BB$$
由此引起了能量差
$$\Delta U = 2\mu_BB$$
也就是说原子内部磁场的存在作用在外层未配对电子的磁矩上面，使之产生了能级分裂，这个能级分裂会产生原子光谱的精细结构，即
$$\Delta E = \Delta U = \frac{hc\Delta \lambda}{\lambda^2}$$
由此可得出原子内部的磁场为
$$B = \frac{hc\Delta\lambda}{2\lambda^2\mu_B}$$
以钠原子的589nm光谱为例，其光谱精细结构的波长差$\Delta\lambda = 0.6nm$，代入上式可估计出作用在电子上的磁场约为18.5T。可见，在原子内部存在着很强的磁场。