Drude模型的一些重要结论

固体物理

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简介

Drude模型是Drude于1900年提出的，它用经典物理解释了金属的部分输运性质。对Drude模型的理解可以让我们更好地理清凝聚态物理的发展脉络，并且对理解材料输运性质的量子解释提供了一个历史背景。因此有必要对Drude模型进行一下仔细的总结[1]。
注：没有耐心的小伙伴可以直接翻到后面看重要结论，看不懂的话可以稍微看一下主要思想和实例分析。

主要思想

自由电子在处于电磁场中时，会被电场加速或者在磁场中做匀速圆周运动。但在实际的材料体系中，电子则不可避免地会和比较重的，相对稳定的晶格离子碰撞，如Fig.1所示。因此Drude在解释金属中电子的输运行为时，引入了一个与电子速度有关的线性阻尼项，导致描述电子的动力学方程变为

$$m\frac{dv}{dt} = -eE-ev\times B-\frac{mv}{\tau}\tag{1}$$
其中-e为电子电荷，$\tau$为电子碰撞的弛豫时间。

实例分析

实际体系中，我们关心的是Drude模型在平衡态的解，此时$\frac{dv}{dt} = 0$。
1. 只对体系加电场的情况
只对体系加电场时，我们得到

$$-eE = \frac{mv}{\tau}\tag{2}$$
结合电流密度表达式$J = nqv$可以得到
$$J = \frac{ne^2\tau}{m}E\tag{3}$$
再结合微观形式的欧姆定律$J = \sigma E$可以得到在只存在电场时的电导率$\sigma = \frac{ne^2\tau}{m}$。
2. 同时对体系加电场和磁场的情况
在这里，我们考虑将电子局限在二维xy平面内运动。假设磁场沿z轴，电场沿x轴。
此时平衡态的方程可以写为
$$v + \frac{e\tau}{m}v\times B = -\frac{e\tau}{m}E\tag{4}$$
结合电流密度表达式$J = nqv$，并把式(4)写为矩阵形式
$$\begin{pmatrix} 1 & \omega_B\tau \\ -\omega_B\tau & 1 \\ \end{pmatrix} J = \frac{e^2n\tau}{m}E\tag{5}$$
再结合微观形式的欧姆定律$J = \sigma E$可以得到，在对二维体系加上互相垂直的电场和磁场时，体系的电导率变成一个二维张量，
$$\sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ -\sigma_{xy} & \sigma_{xx} \\ \end{pmatrix} = \frac{\sigma_{DC}}{1+\omega_B^2\tau^2} \begin{pmatrix} 1 & -\omega_B\tau \\ \omega_B\tau & 1 \\ \end{pmatrix}$$
这里的$\omega_B = eB/m$为自由电子在磁场中运动的圆频率，$\sigma_{DC}$是只存在电场时体系的电导率。
**这里得到的其实就是经典的霍尔效应：由于z方向磁场对电子的作用，会使x方向的电流偏转在y方向产生相应的霍尔电压。

重要结论

1. Drude模型是解释电子输运性质的最基本模型。在Drude模型中需要考虑描述电子与晶格碰撞的线性阻尼项，电子的输运性质由下式给出
   $$m\frac{dv}{dt} = -eE-ev\times B-\frac{mv}{\tau}$$
2. 在对体系加电场时，可以由Drude模型推出材料的电导率：$\sigma = \frac{ne^2\tau}{m}$，可以看出电导率与材料的载流子密度以及电子碰撞的弛豫时间有关。
3. 在对体系加相互正交的电磁场时，材料的电导率将变成一个张量。在二维情形下，电导率公式由下式给出：
   $$\sigma = \frac{\sigma_{DC}}{1+\omega_B^2\tau^2} \begin{pmatrix} 1 & -\omega_B\tau \\ \omega_B\tau & 1 \\ \end{pmatrix}$$
   由标量到张量的变化正是由于电子在磁场中所受的洛伦兹里导致，这就是经典霍尔效应的物理基础。