有限元讲义

FEM

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问题模型

考虑如下D氏边界条件的Poisson方程:

$$\begin{eqnarray} -\Delta u(x) &=& f(x),\text{ on } \Omega.\\ u|_{\partial\Omega} &=& 0. \end{eqnarray}$$

Galerkin方法

有限元方法是一种基于 PDE (partial differential equations) 的变分形式 (variational formulation) 求解PDE近似解的方法.

给定一个边界恒为零函数$v$, 同乘以方程$\eqref{eq:P}$的两端, 然后做分部积分可得:

$$\int_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla v\mathrm{d}x = \int_{\Omega}fv\mathrm{d}x.$$

当然上面的分部积分要想成立, $v$还必须足够光滑--函数本身及其一阶导数都在$\Omega$上$L^2$可积, 满足该条件的函数组成
一函数空间, 记$H_0^1(\Omega)$.

原问题就转化为: 求解 $u\in H_0^1(\Omega)$, 满足

$$a(u,v) = <f,v> \text{ for all }v\in H_0^1(\Omega).$$

其中

$$a(u,v) = \int_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla v\mathrm{d}x, <f,v> = \int_{\Omega}fv\mathrm{d}x.$$

下面我们考虑所谓Galerkin方法来求$\eqref{eq:W}$的逼近解. 上面$H_0^1(\Omega)$是一个无限维的空间,
为了把无限维的问题转化为有限维的问题, 引入$H_0^1(\Omega)$的一个有限维的子空间$V_h$, 比如
$V_h=\mathrm{span}{\phi_1,\phi_2,\ldots,\phi_N}$. 对任何$v\in V_h$, 它都有唯一的表示

$$v = \sum\limits_{i=1}^N v_i\phi_i.$$

可以看出空间$V_h$和$N$维向量空间$\mathbb{R}^N$是同构的, 即

$$v = \sum\limits_{i=1}^N v_i\phi_i\leftrightarrow\mathbf{v} =(v_1,v_2,\ldots,v_N)^t$$

其中列向量$\mathbf{v}$是$v$在基${\phi_i}_{i=1}^N$的坐标. 引入刚度矩阵(stiff matrix)

$$\mathbf{A}=(a_{ij})_{N\times N} \text{ with } a_{ij}=a(\phi_i,\phi_j).$$

和载荷矢量(load vector) $\mathbf{f} = (f_1, f_2,\ldots,f_N), f_i=$. 则通过求解如下的
线性代数系统

$$\mathbf{Au} = \mathbf{f}.$$

获得解向量$\mathbf{u}=(u_1,u_2,\ldots,u_N)^t$, 对应的有限元解为

$$u_h = \sum\limits_{i=1}^N u_i\phi_i.$$

三角形网格和重心坐标

给定三个不在同一条直线上的二维点$\mathbf{x}_1 :=(x_1,y_1)$, $\mathbf{x}_2 :=(x_2,y_2)$和$\mathbf{x}_3 :=(x_3,y_3)$, 则向量$\mathbf{x}_1\mathbf{x}_2$和$\mathbf{x}_1\mathbf{x}_3$线性无关. 这等价于矩阵

$$A = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

非奇异. 任给一点$\mathbf{x}:=(x,y)$, 求解下面的线性方程组

$$A \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2\\ \lambda_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x \\ y\\ 1 \end{pmatrix}$$

可得唯一的一组解$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$, 因此对任意二维点$\mathbf{x}$, 有

$$\mathbf{x}=\lambda_1(\mathbf{x})\mathbf{x}_1 + \lambda_2(\mathbf{x})\mathbf{x}_2 + \lambda_3(\mathbf{x})\mathbf{x}_3 \text{ with } \lambda_1(\mathbf{x}) + \lambda_2(\mathbf{x}) + \lambda_3(\mathbf{x}) = 1.$$

$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$称为点$\mathbf{x}$关于点$\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2$和$\mathbf{x}_3$的重心坐标. 重心坐标
有它相应的几何意义. 记$\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2$和$\mathbf{x}_3$组成的三角形为$\tau$, 把$\tau$的顶点$\mathbf{x}_i$换$\mathbf{x}$
得到的三角形记为$\tau_i(\mathbf{x})$, $i=1,2,3$, 则由克莱姆法则可得

$$\lambda_i = {|\tau_i(\mathbf{x})| \over |\tau|}.$$

其中$|\cdot|$表示三角形的面积.

基函数 $\phi_i$ 的构造