MATLAB笔记（3.1-3.7）

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3.1矩阵分析

norm 求矩阵或向量范数
normest估计矩阵的2阶范数
null 零空间
orth 正交化空间

$$||x||_p=(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}$$ 为p阶范数
1. 在MATLAB中，求向量范数的函数具体用法：
N=norm(x,p)对任大于1的数p，返回向量x的p阶范数
N=norm(x)返回向量x的2阶范数，相当于N=norm(x，2)
N=norm(x，inf)返回向量x的$\infty$阶范数，相当于N=max(abs(x))
N=norm(x，-inf)返回向量x的$-\infty$阶范数，相当于N=min(abs(x))
2. 在MATLAB中，求矩阵范数具体用法：
N=norm(A)计算矩阵的2阶范数，即最大奇异值
N=norm(A，p)由于参数p的值不同，求不同阶的范数值
3. 在MATLAB中，求零化矩阵的函数null具体用法：
Z=null(A)返回矩阵A的一个化零矩阵，若不存在，则则返回空矩阵
Z=null(A，'r')返回有理形式的化零矩阵
Q=orth(A)返回矩阵A的正交空间Q
theta=subspace(A,B)返回矩阵A和B的夹角

3.2 线性方程组

1. X=A\B表示求矩阵方程$AX=B$的解
   X=B/A表示求矩阵方程$XA=B$的解
   对于X=A\B，要求矩阵A和矩阵B有相同的行数，X和B有相同的列数，X的行数等于矩阵A的列数；X=B/A则相反
2. 矩阵A不一定要求方针，A可为m×n矩阵，有如下三种情况：
   m=n，恰当方程组，寻求精确解
   m>n，超定方程组，寻求最小二乘解
   m
3. 线性方程组的一般解
   步骤：
   （1）解相应的齐次方程组$AX=0$，求得基础解可用函数null()求
   （2）求非齐次线性方程组$AX=B$的一个特殊解
   （3）非齐次线性方程组$AX=B$的一般解等于基础解的线性组合加特殊解
4. 恰当方程组的求解
   恰当方程组是方程的个数与未知量个数相同的方程组
   （1）若恰当方程组非奇异，则A\B给出了恰当方程组的精确解，该精确解与矩阵B的维数大小一样
   （2）若恰当方程组奇异，则方程的解不存在或不唯一；一个奇异的恰定方程组若存在，则可用A的伪逆
5. 超定方程组是方程的个数大于未知量个数的方程组
   超定方程组是方程的个数小于未知量个数的方程组

3.3矩阵分解

chol cholesky分解
cholinc 稀疏矩阵的不完全cholesky分解
lu 矩阵LU分解
luinc 稀疏矩阵的不完全LU分解
qr 正交三角分解
svd 奇异值分解
gsvd 一般奇异值分解
schur 舒尔分解

1. 对称正定矩阵的cholesky分解
   调用方式：
   R=chol(x),其中X为对称正定矩阵，R为上三角矩阵使$X=R'*R$,若X为非正定的，结果返回错误信息
   [R,p]=chol(x)返回两个参数且不会返回出错信息
   若X为正定的，返回上三角矩阵R，使$X=R'*R$且$p=0$
   若X为非正定的，返回p为正整数，R为上三角矩阵，阶数为$p=1$
2. 一般方阵的高斯消去法
   调用方式：
   [L,U]=lu(x),X为方阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵且$X=LU$
   [L,U，p]=lu(x),X为方阵，L为下三角矩阵，p为置换矩阵，U为上三角矩阵且$pX=LU$
   Y=lu(x),X为方阵，$Y=L+U-I$
3. 正交分解
   调用方式：
   [Q,R]=qr(A),R,A为具有大小相同的上三角矩阵，Q为正交矩阵，满足$A=QR$
4. 奇异值分解
   调用方式：
   [U,S,V]=svd(X)，奇异值分解
5. 舒尔分解
   [U,S]=schur(A)，返回酉矩阵U和块对角矩阵S

3.4 矩阵的特征值和特征向量

d=eig(A),返回矩阵A的所有特征值
[V,D]=eig(A),返回矩阵A的所有特征值和特征向量，满足$A*V=V*D$

3.5 非线性矩阵运算

expm 矩阵指数运算
logm 矩阵对数运算
sqrtm 矩阵开平方运算
funm 一般非线性矩阵运算

3.6 复数函数

abs 绝对值
angle 幅角
complex 用实部和虚部构造一个复数
conj 复数的共轭
imag 复数的虚部

3.7 截断和求余函数

fix 向零取整
floor 向负无穷方向取整
ceil 向正无穷方向取整
round 四舍五入
mod 除法求余（与除数同号）
rem 除法求余（与被除数同号）
sign 符号函数