向量微积分
科研笔记 向量 微积分
向量微分使用符号J，标量微分使用符号∇。
假设：
XϕAB=[x,y,z]=⎡⎣A1A2A3⎤⎦=⎡⎣B1B2B3⎤⎦(189)(190)(191)(192)
JAJTAJTϕA===⎡⎣⎢⎢(∇A1)T(∇A2)T(∇A3)T⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂A1∂x∂A2∂x∂A3∂x∂A1∂y∂A2∂y∂A3∂y∂A1∂z∂A2∂z∂A3∂z⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥[∇A1,∇A2,∇A3]ϕJTA+∇ϕAT(164)(165)(166)
令
[A]×=⎡⎣0A3−A2−A30A1A2−A10⎤⎦(6)
则
[A]T×=−[A]×(7)
从而
A×B====⎡⎣iA1B1jA2B2kA3B3⎤⎦⎡⎣A2B3−A3B2A3B1−A1B3A1B2−A2B1⎤⎦⎡⎣0A3−A2−A30A1A2−A10⎤⎦⎡⎣B1B2B3⎤⎦[A]×B(8)(9)(10)(11)
由于
A⋅B=A1B1+A2B2+B3C3(12)
所以
∇(A⋅B)=====∇(A1B1+A2B2+B3C3）∇A1B1+A1∇B1+∇A2B2+A2∇B2+∇A3B3+A3∇B3∇A1B1+∇A2B2+∇A3B3+A1∇B1+A2∇B2+A3∇B3[∇A1,∇A2,∇A3]⎡⎣B1B2B3⎤⎦+[∇B1,∇B2,∇B3]⎡⎣A1A2A3⎤⎦JTAB+JTBA(13)(14)(15)(16)(17)
从而
∇(A⋅A)=2JTAA(18)
JA×B=====⎡⎣⎢⎢∇(A2B3−A3B2)T∇(A3B1−A1B3)T∇(A1B2−A2B1)T⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢(∇A2B3−∇A3B2+A2∇B3−A3∇B2)T(∇A3B1−∇A1B3+A3∇B1−A1∇B3)T(∇A1B2−∇A2B1+A1∇B2−A2∇B1)T⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢(∇A2B3−∇A3B2)T(∇A3B1−∇A1B3)T(∇A1B2−∇A2B1)T⎤⎦⎥⎥+⎡⎣⎢⎢(A2∇B3−A3∇B2)T(A3∇B1−A1∇B3)T(A1∇B2−A2∇B1)T⎤⎦⎥⎥⎡⎣0B3−B2−B30B1B2−B10⎤⎦T⎡⎣⎢⎢(∇A1)T(∇A2)T(∇A3)T⎤⎦⎥⎥+⎡⎣0A3−A2−A30A1A2−A10⎤⎦⎡⎣⎢⎢(∇B1)T(∇B2)T(∇B3)T⎤⎦⎥⎥[B]T×JA+[A]×JB(19)(20)(21)(22)(23)
从而
JTA×B=JTA[B]×+JTB[A]T×=JTA[B]×−JTB[A]×(24)
∇(A×B)⋅C====JTA×BC+JTCA×BJTA[B]×C−JTB[A]×C+JTCA×BJTAB×C−JTBA×C+JTCA×BJTAB×C+JTBC×A+JTCA×B(25)(26)(27)(28)
