微分方程笔记（7-11课）

公开课

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第七课：一阶常系数线性方程

$$y’+ky=q(t)$$
先求积分因子，再求线性方程的解
得出解为 $$y=e^{-kt}\int q(t)e^{kt}\,\mathrm{d}t+ce^{-kt}$$

定义1

当$t \to \infty$时，$ce^{-kt}\to 0$,而$e^{-kt} \int q(t)e^{-kt}\mathrm{d}t$保持为函数的形式，则称为稳态解或长效解，而$ce^{-kt}$越来越小，称为暂态.

性质1

解的初始点开始与稳态解不同，但随时间的推移，他们必然趋于稳态解（但不会相交）

性质2

稳态解不止一个，一般选择最简单的那个

注：没有$k>0$，就没有稳态解一说；稳态解对于$k<0$没有意义。

1. 输入：$q(t)$

定义2

内部温度的变化受支配与外部驱动温度，他是系统对输入$q(t)$的响应，响应就是微分方程的解

例：

温度湿度模型 $$y’+ky=q_e(t)$$
两边同时乘以$\frac{1}{k}$得 $$(\frac{1}{k})y’+y=q(t)（输入响应分析的标准形式）$$
其中$q(t)$为输入，方程的解是响应。

1. 叠加原理
   （1）输入的叠加：如果输入$q_1(t)$产生响应$y_1(t)$，且$q_2(t)$产生$y_2(t)$，那么微分方程把他们两个简单相加，这两个和为稳态响应。（方程是线性的）
   （2）物理输入是三角函数时的情况
   $$y’+ky=kq_e(t)$$ $$q_e(t)=cos\omega t$$ （输入） $\omega$为角频率
   问题：对物理输入 $$q_e(t)=cos\omega t$$ 求响应（微分方程的解）
   
   1. 用复数求解（复化问题）
      复化后的方程： $$\overline y’+k\overline y=ke^{i\omega t}$$
      求出方程的解取其实部就是原方程的解
   2. 用积分因子求解
      两边同时乘以积分因子，再积分，求出方程的解取其实部

第八课：一阶常系数线性方程（续）

$$y’+ky=k cos\omega t$$
$$\overline y’+k\overline y=ke^{i\omega t}$$
$$(a,b)(cos\theta,sin\theta)$$ = $$\left|({a},{b}) \right|cos(\theta-\psi)$$
$$(a-bi)(cos\theta+isin\theta)$$ = $$\sqrt{(a^2+b^2)}e^{-i\psi}e^{i\theta}$$ = $$\sqrt{(a^2+b^2)}e^{i(\theta-\psi)}$$

第九课：二阶常系数线性方程

$$y’’+Ay’+By=0(齐次)$$
通解： $$y=c_1y_1+c_2y_2$$

• 解的常数个数和方程的阶数相等
• 初始条件：选择适当的$c_1$和$c_2$来满足

• 方法：设

  $$y=e^{rt}$$
  则 $$r^2e^{rt}+Are^{rt}+Be^{rt}=0$$
  $$r^2+Ar+B=0（特征方程）$$

  1. 当特征根为实数且$r_1-=r_2$时，其通解为

     $$y=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$$

  2. 当特征根为复数时，$r=a+bi$,则其通解为

     $$y=c_1e^{at}cos{at}+c_2e^{at}sin{bt}$$

  3.当特征根有两个相同的实数根时，有$(r+a)^2=0$,从而有$r=-a(二重)$
  通解为

  $$y=c_1e^{-at}+c_2te^{-at}$$

第十课：二阶常系数线性方程(续)

1. 特征方程是复根时才能得到震荡:

2. 特征方程

   $$r^2+br+k=0$$ ，特征根$r=a+bi$
   得到的复解为$y_1=e^{at}cos{bt}$,$y_2=e^{et}sin{bt}$
   线性方程的解是 $$y=c_1y_1+c_2y_2$$

3. 令

   $$y=c_1y_1+c_2y_2$$
   把$y_1=e^{(a+bi)t}$,$y_2=e^{(a-bi)t}$代入上式得
   $$y=c_1e^{(a+bi)t}+c_2e^{(a-bi)t}$$
   用$i$代替$-i$得 $$y=\overline c_1 e^{(a-bi)t}+\overline c_2 e^{(a+bi)}t$$
   则$c_1=\overline c_2$,$c_2=\overline c_1$

第十一课：二阶齐次线性方程

$$y=c_1y_1+c_2y_2（线性组合）$$

1. 为什么$c_1y_1+c_2y_2$都是解？
   叠加原理：如果$y_1$,$y_2$都是线性方程的解，则$c_1y_1+c_2y_2$是线性方程的一个解。微分算子运算：

   $$L(u_1+u_2)=L(u_1)+L(u_2)$$
   $$L(cu)=cL(u)$$
   $u$为$x$的函数，$c$为常数
   例： $$y’’+py’+qy=0$$
   用微分算子表示为： $$D^2y+pDy+qy=0$$
   $$(D^2+pD+q)y=0$$
   这里不是乘以$y$,而是对$y$作微分
   $L=d^2+PD+q$称为一个线性算子

   2.满足初值条件的解
   定理1：${c_1y_1+c_2y_2}$，常数为任意值，满足初值条件
   把初始条件$y(x_0)=a$,$y’(x_0)=b$代入
   

   $$y= c_1y_1+c_2y_2$$
   $$y’= c_1y’_1+c_2y’_2$$
   $$c_1y_1(x_0)+c_2y_2(x_0)=a$$
   $$c_1y’_1(x_0)+c_2y’_2(x_0)=b$$
   这里$c_1$,$c_2$是变量
   如果$c_1$,$c_2$可解，则
   $$\begin{vmatrix} y_1 & y _2\\ y’_1 & y’_2 \end{vmatrix}≠0$$
   这个行列式称为朗斯基行列式

定理2：

如果$y_1$,$y_2$都是线性方程的解，则$W(y_1,y_2)≡0$或者$W(y_1,y_2)$从不为零
存在唯一性定理：$y’’+py’+qy=0$,$p$,$q$对所有的$x$连续，则方程有且只有一个解，且满足初值条件。