Chaotic differential evolutionary algorithm

algorithm

chaotic systems

这里展示3个chaotic system

• logistic map
  $$ch_{k+1}=uch_k(1-ch_k),ch_k \in [0,1],k=0,1,2,\dots,K \tag{1}$$
• mapping drawn form chaotic neuron
  $$ch_{k+1}=\eta ch_k - 2\tanh(\gamma ch_k)\exp[-3(ch_k)^2],ch_k \in[0,1],k=0,1,2,\dots,K \tag{2}$$
• tent mapping
  $$ch_{k+1}=\left\{ \begin{aligned} &\frac{ch_k}{\alpha},&&ch_k\in[0,\alpha],\\ &(1-\alpha)(1-ch_k),&&ch_k\in(\alpha,1] \end{aligned} \right. \qquad k=0,1,2,\dots,K\tag{3}$$

k是迭代计数，K预设最大值，$u和\gamma$是控制参数，$\eta \in [0,1]$,在式（1）中，设定$\mu=4,ch_0 \notin\{0,0.25,0.5,0.75,1\}$,在式(2)中，$ch_0\notin\{0,0.25,0.5,0.75,1\}$，这样便可利用(1)(2)(3)迭代，无规律，随机地分布式搜索。

Differential evolution algorithm

https://blog.csdn.net/qq_37423198/article/details/77856744]
这里讲的很详细，我也参考着写一下算法过程。
差分进化算法：类似于遗传算法，是其的一种改进。
算法过程

• 初始化
  随机产生M个个体一，每个个体由n维向量组成（也说成染色体）
  

  $$X_i(0)=(x_{i,1}(0),x_{i,2}(0),x_{i,3}(0)),\dots,x_{i,n}(0),i=1,2,3,\dots,M$$
  第i个个体的第j维取值方式如下：
  $$X_{i,j}(0)=L_{j\_min}+rand(0,1)(L_{j\_max}-L_{j\_min}),i=1,2,3,\dots,M\ j=1,2,3,\dots,n$$

• 变异
  在第g次迭代中，从种群中随机选择3个个体$Xp_1(g),Xp_2(g),Xp_3(g)$,且p1≠p2≠p3≠i，生成的变异向量为：
  

  $$H_i(g)=X_{p1}(g)+F\cdot (X_{p2}(g)-X_{p3}(g))$$
  这里的F是缩放因子

• 交叉
  

  $$v_{i,j}=\left\{ \begin{aligned} &h_{ij}(g),rand(0,1)\le cr\\ &x_{ij}(g),else \end{aligned} \right.$$
  其中，$cr \in [0,1]$为交叉概率
  

• 选择
  

  $$x_i(g+1)=\left\{ \begin{aligned} v_i(g),&if\ f(v_i(g)) <f(X_i(g))\\ x_i(g),&else \end{aligned} \right.$$

• 参数
  $f$是适应度函数，M一般介于$5\times n到10\times n$之间， 不能少于4;F一般在$[0,2]$间选择，通常取0.5,$cr$一般在[0,1]间选择，一般选0.3

• 参数自适应调整
  将随机选择的个体从优到劣排序，得到$X_b,X_m,X_w$,对应适应度$f_b,f_m,f_w$,变异算子改为：
  

  $$V_i=X_b+F_i\cdot(X_m-X_w)$$
  F的自适应变化：
  $$F_i=F_l+(F_u-F_l)\cdot \frac{f_m-f_b}{f_w-f_b}$$
  其中，$F_l=0.1,F_u=0.9$

cpde

使用chaotic system初始化

cpde算法
chaotic部分：初始化，在交叉后用chaotic产生的个体替换差的那一半个体，再用pattern search方法对最优个体进行优化，再使用获得的个体替换当前最着的那一半个体。

引用：
Wang Y J , Zhang J S . Global optimization by an improved differential evolutionary algorithm.[J]. Applied Mathematics & Computation, 2007, 188(1):669-680.