群论学习笔记

数学 学习笔记

---

定义

置换：有限集合到自己的双射，一般可以用一个排列表示，即$\begin{pmatrix}a_1,a_2\cdots,a_n\\a_{p_1},a_{p_2},\cdots,a_{p_n}\end{pmatrix}$，也就是映射$f:a_i\mapsto a_{p_i}$。记集合$X$在置换$g$的作用下变成的集合为$X^g$，同理记$x^g$为元素$x$在置换$g$作用下的结果。

推论：一个大小为$n$的置换有$n!$种表示方式。

恒等置换：若对于排列满足$p_i=i$，那么其表示的置换为恒等置换。

置换的乘法：置换$A$$\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\a_{p_1},a_{p_2},\cdots,a_{p_n}\end{pmatrix}$和置换$B$$\begin{pmatrix}a_{p_1},a_{p_2},\cdots,a_{p_n}\\a_{q_1},a_{q_2},\cdots,a_{q_n}\end{pmatrix}$的乘积$C$是$\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\a_{q_1},a_{q_2},\cdots,a_{q_n}\end{pmatrix}$。（注意，置换的乘法一般不满足交换律）

循环置换：可以表示为$\begin{pmatrix}a_1,a_2\cdots,a_n\\a_2,a_3,\cdots,a_1\end{pmatrix}$的置换，同时也可以用$(a_1,a_2,\cdots, a_n)$表示。

不相交的循环置换：如果循环置换$A,B$不相交，那么$A$和$B$不含有相同元素。

定理：一个置换可以拆分成若干个不相交的循环置换的乘积。（记置换$g$能拆分的循环置换数量为$c(g)$）

对换：两个元素构成的循环置换被称为对换。

奇/偶置换：如果一个置换可以分解成奇数个不相交的循环置换，则其可以被称为奇置换，否则被称为偶置换。

群：对于集合$S\ne\varnothing$和$S$上的运算$\times$构成的代数结构$(S,\times)$，如果其满足以下性质，那么可以被称为群。

• 封闭性：$\forall a,b\in G,a\times b\in G$
• 结合律：$\forall a,b,c\in G,(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$
• 单位元（幺元）：$\exists e\in G,\forall a\times e=e\times a=a$

定理：一个群的左单位元等于其右单位元。

• 逆元：$\forall a,\exists a^{-1}\in G,a\times a^{-1}=e$

子群：如果$(G,\times)$为一个群，且$H$是$G$的子集，若$(H,\times)$能构成群，那么$(H,\times)$为$(G,\times)$的子群，记为$H\leq G$。（若群$H\leq G$且$H\ne G$，则称$H$为$G$的真子群）

半群：对于集合$S\ne\varnothing$和$S$上的运算$\times$构成的代数结构$(S,\times)$，如果其满足结合律，封闭性（见上方定义），那么可以被称为半群。

子半群：如果$(G,\times)$为一个半群，且$H$是$G$的子集，若$(H,\times)$能构成半群，那么$(H,\times)$为$(G,\times)$的子半群。

幺半群：对于集合$S\ne\varnothing$和$S$上的运算$\times$构成的代数结构$(S,\times)$，如果其满足结合律，封闭性，单位元（见上方定义），那么可以被称为幺半群。

阿贝尔群（交换群）：对于集合$S\ne\varnothing$和$S$上的运算$\times$构成的代数结构$(S,\times)$，如果其满足以下性质，那么可以被称为阿贝尔群。

• 封闭性：$\forall a,b\in G,a\times b\in G$
• 结合律：$\forall a,b,c\in G,(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$
• 单位元：$\exists e\in G,\forall a\times e=e\times a=a$
• 逆元：$\forall a,\exists a^{-1}\in G,a\times a^{-1}=e$
• 交换律：$\forall a,b\in G,a\times b=b\times a$

交换半群：对于集合$S\ne\varnothing$和$S$上的运算$\times$构成的代数结构$(S,\times)$，如果其满足结合律，封闭性，交换律（见上方定义），那么可以被称为交换半群。

环：对于集合$S\ne\varnothing$和$S$上的运算$+,\times$构成的代数结构$(S,+,\times)$，如果$(S,+)$为阿贝尔群，$(S,\times)$为半群，且$+$与$\times$存在分配律（即$a\times(b+c)=a\times b+a\times c$），那么可以被称为环。（此时$(S,+)$的单位元可以被称为零元）

域：对于环$(S,+,\times)$，如果$S$非零元的子集$T$满足$(T,\times)$也为阿贝尔群，那么该环可以被称为域。

置换群：不难发现对于大小为$n$的集合$S$，作用在上面的所有的置换以及置换的乘法构成一个群（封闭性、结合律易证，单位元为恒等置换，逆元就是交换上下两行），这个群被称为$n$阶对称群，记为$S_n$或$\text{Sym}(X)$，其任意子群被称为置换群。

定理：Cayley定理 咕咕咕

轨道：对于作用在集合$X$上的置换群$G$，对于$x\in X$，定义集合$A=\{x^g\mid g\in G\}$为$x$的轨道，记为$G\cdot x$或$\text{orb}(x)$。同时对于每一个元素，按照轨道会分为若干个轨道等价类，这些轨道等价类构成的集合记为$X/G$。

不动点（集）：对于作用在集合$X$上的置换群$G$，对于$x\in X$，若$\text{orb}( x)=\{x\}$，则称$x$为$G$作用下的不动点。对于$g\in G$，所有$x^g=x$的$x$构成的集合称为$g$的不动点集，记作$X^g$。

稳定子（群）：对于作用在集合$X$上的置换群$G$，对于$X$的子集$A$，称所有满足$g\in G$且$A\subseteq X^g$的$g$形成的子群为$A$的稳定子群，记作$G_A$或$\text{stab}(A)$。对于元素$x$，我们同样定义稳定子为所有满足$g\in G$且$x\in X^g$的$g$形成的集合，记作$G^x$或$\text{stab}(x)$。

群的阶（势）：一个群$G$的阶是其元素的个数，被记为$|G|$或$\text{ord}(G)$。

元素的阶：在群$(G,\times)$中，元素$a$的阶指满足$a^k=e$的最小正整数$k$，其被记为$|a|$或$\text{ord}(a)$。

生成子群：对于群$(G,\times)$以及集合$P$，若$P$为$G$的子集，那么称所有包含$P$的子群的交为$P$的生成子群$\left \langle P\right\rangle$，且称$P$为$\left\langle P\right\rangle$的生成集。

定理：$\forall a\in G,\text{ord}(a)=\text{ord}(\left\langle a\right\rangle)$。

陪集：对于群$G$以及其子群$H$，对于$a\in G$，称$aH=\{ax\mid x\in H\}$为$H$的一个左陪集，称$Ha=\{xa\mid x\in H\}$为$H$的一个右培集。

定理：对于群$G$以及其子群$H$，若$H$的左陪集集合为$A$，$H$的右陪集集合为$B$，$f:Ha\mapsto a^{-1}H$为$B$到$A$的双射。

指标：对于群$G$以及其子群$H$，称$H$的不同左/右陪集个数为其指标，记作$[G:H]$

定理：对于群$G$以及其子群$H$，其对应的左指标等于右指标。

陪集的性质

咕咕咕

拉格朗日定理

对于有限群$G$以及其子群$H$，$G$的阶整除$H$的阶，且其商为$H$的指标，即

$$[G:H]=\frac{\text{ord}(G)}{\text{ord}(H)}$$

证明：

咕咕咕

推论：阶为质数的群$G$不存在真子群。

轨道稳定子定理

又叫轨道-稳定集定理。

对于作用在集合$X$上的置换群$G$，对于每个元素$x\in X$，$x$的稳定子大小与$x$的轨道大小之积为$G$的阶，即：

$$\text{ord}(\text{stab}(x))\cdot\text{ord}(\text{orb}(x))=\text{ord}(G)$$

证明：

咕咕咕

Burnside引理

$$\text{ord}(X/G)=\frac{1}{\text{ord}(G)}\sum_{g\in G}|X^g|=\frac{1}{\text{ord}(G)}\sum_{x\in X}\text{ord}(\text{stab}(x))$$

证明：

咕咕咕

Pólya定理

事实上，Pólya定理是Burnside引理的一种特殊情况。

P4980 【模板】Pólya 定理

【THUSC 2017】如果奇迹有颜色

参考资料

充满对称性的计数——Burnside引理与Polya定理

【学习笔记】Polya定理

Burnside引理与Polya定理

置换群

群论小记

群论学习笔记/群论

基础抽象代数