数学常识

数学

---

常识

符号	定义
$F(x)$	关于$x$的函数$F$
$f(x)\times g(x)$或$(f*g)(x)$	狄利克雷卷积
$a\mid b$	a是b的因数
$(a,b)$	$a$,$b$的公因数
$[x]$，x为表达式	表达式是否成立，成立为$1$，不成立为$0$
$<a,b,\cdots,z>$	多元向量组

$$In(x)=log_e^x$$
$$\pi(x)=\sum_{i=1}^{x-1}[i\in\mathbb{P}]\\\pi(x)\sim\frac{x}{In(x)}$$
$$1(x)=I(x)=1\\id(x)=x,id^k(x)=x^k\\\epsilon(x)=[x==1]$$
$$\varphi(x)=\phi(x)=\sum_{i=1}^{x-1}[gcd(i,x)==1]\\\mu(x)=\cases{1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=1\\(-1)^s,\ \ \ \ \ \ \ x=p_1\cdot p_2\cdots p_s(\forall_{1\leqslant i\leqslant x,1\leqslant j\leqslant x,i\ne j}p_i\ne p_j)\\0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ otherwise}\\\sigma(x)=\sum_{i=1}^{x-1}[i\mid x],\sigma_k(x)=\sum_{i=1,i\mid x}^s i$$

$$\mu(x)\times I(x)=\epsilon(x)\\\varphi(x)\times I(x)=id(x)\\\mu(x)\times id(x)=\varphi(x)$$

反素数：在集合中因子最多的数中最小的数

• 当x为反素数时，x肯定是从2开始的连续素数的幂次，数值小的素数的幂次大于数值大的素数的幂次

排列组合

排列：从n个不同元素中取出m个元素（m小于等于n），按照一定的顺序排成一列，叫做n个元素取出m个元素的一个排列，排列的数量称为排列数，用A(m,n)来表示，公式：

$$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$
组合：从n个不同元素中取出m个元素为一组（m小于等于n），叫做n个元素
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。组合的数量称为组合数，用C(m,n)来表示，公式： $$C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

• $$C_n^0=c_n^n=1$$
• $$C_n^m=C_n^{n-m}$$
• $$C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$$

向量

向量：一个一维的矩阵（向量中的元素个数代表空间的维度）

线性空间：由所有向量组成的集合

线性组合：给定一组向量，我们可以将这组向量中每个向量x[i]乘上一个常数k[i]，并将所有向量相加，得到
的向量就是它们的线性组合

线性空间的基底：由某一组可以用线性组合表示出线性空间内所有向量的最小集合就是该线性空间的基底

• 在n维空间内，线性空间基底的向量个数就是n
• 基底内任意向量都不能用其他向量的线性组合表示
• 基底不是唯一的

线性相关与线性无关：在线性空间中，如果一组向量可以用其他有限个向量的线性组合表示，称这组向量是线性相关的，否则就是线性无关（或线性独立）的

• 基底内所有向量两两之间线性无关
• 在n维空间内，给定n+1个向量，这组向量中一定会有一个向量是线性相关的

方程

齐次线性方程租：常数全部为0的线性方程组，如

$$x_1+x_2+\cdot\cdot\cdot+x_n=0$$
非齐次线性方程组：常数不全为0的线性方程组。如 $$a_1x_1+a_2x_2+\cdot\cdot\cdot+a_nx_n=b$$

矩阵

矩阵：矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合

主对角线：从左上角到右下角的对角线

单位矩阵：只有主对角线的元素为1，其他的元素为0的矩阵

• 单位矩阵相当于乘法中的1，乘上任何矩阵都不会让矩阵改变

增广矩阵：将一个方程组每一行提取出系数，在把右边的结果放在一起组成的矩阵称为方程组的增广矩阵

阶梯矩阵：对于所有行i，第i+1个数之后的所有数都是0的矩阵

初等行（列）变换：
1. 交换两行
2. 把某一行所有的数字乘k
3. 把某一行的元素对应加到另一行的元素上

矩阵的行秩与列秩：对于任何一个矩阵矩阵，将其化为对于行（列）的阶梯矩阵后，非零行（列）向量的个数称为矩阵的行秩（列秩），统称为矩阵的秩，矩阵X的秩常用R(X)来表示

• 一个矩阵的行秩等于一个矩阵的列秩
• 一个矩阵的秩不可能大于其中行与列的最小值
• 对于n元齐次线性方程组 $$a_1x_1+a_2x_2+\cdot\cdot\cdot+a_nx_n=b$$ ，如果对于a数组的增广矩阵A和b数组的增广矩阵B，有R(A)=R(B)=n的话该线性方程组有唯一解，否则如果R(A)=R(B)

集合相关

空集：$\emptyset$，指没有任何元素的集合（空集包含于所有集合）。
补集：$\bar A$，指不属于$A$集合中的元素构成的集合。
并集：$A\cup B=C$，则$C$为$A$与$B$的并集，元素为$A$与$B$中所有的元素（去重）。
交集：$A\cap B=C$，则$C$为$A$与$B$的交集，元素为$A$与$B$中重复的部分。
减法：$A-B=C$，则$C$为$A$减$B$的差集，由$A$中含有而$B$没有的元素构成。
对称差：$A\Delta B=C$，则$C$为$A$与$B$之间的对称差，元素为$A$与$B$中没有重复的部分，即$C=(A-B)\cup(B-A)$。
属于：$a\in A$，则$a$属于$A$集合，$a$是$A$中的元素。
包含：$A\subseteq B$，则$A$是$B$集合的子集，$A$中的元素均在$B$中出现过（与属于的区别：属于是关于单一元素的，包含是关于集合的）。