\not x

学校

---

题

$\sqrt{4x + 10}$ $\sqrt5$

解

设$\sqrt{4x + 10} = y \sqrt{5}$（$y > 0$），则

$$\begin{align} \sqrt{4x+10} & = \sqrt{5y^2}\\ 4x+10 & = 5y^2\\ 4x & = 5y^2-10\\ x & = \frac{5y^2-10}4\\ x & = \frac{5 (y^2-2)}4\\ x & = \frac54 (y^2-2) \end{align}$$

$\because$ $x$ 是正整数，
$\therefore$ $y^2−2$ 能被$4$整除。
$\because$ $4x+10 = 2(2x+5)$ 能被$2$整除，且$5$不能被$2$整除，
$\therefore$ $y$能被$2$整除，
$\therefore$ $y^2$能被$4$整除，
$\therefore$ $y^2-2$不能被$4$整除，与$y^2−2$ 能被$4$整除矛盾，
$\therefore$ 不存在这样的正整数$x$。