【算法日积月累】1-选择排序

选择排序 算法

“算法”的入门，从“排序算法”开始，希望通过“排序算法”这一部分的学习，能够让我们认识到“算法”的威力，“算法”不仅仅只存在与我们的面试中（那时只是因为我不知道“算法”而已），“算法”无处不在，“算法”很有用。

下面是一些说明：

1、会直接使用“空间复杂度”和“时间复杂度”的概念，不妨先有个印象，实在纠结的话，可以去翻翻书，“空间复杂度”和“时间复杂度”最多的应用就在于比较不同算法的优劣；

2、“排序算法”这一章节为了方便说明，使用的例子都是以“整数数组”为例，并且是“升序排序”，学习过 Java 语言的朋友就知道，待排序的也可以是对象，只要实现了相关的接口，实现了相应的比较规则，就可以进行排序。

我们选择“选择排序”作为算法入门的开篇。理由如下：

1、“选择排序”算法的思想十分简单，非常接近我们的思维方式：先找最小的数、再找第 2 小的数，依次类推，最后剩下的就是数组中最大的元素；

2、“选择排序”的实现也很简单。

“选择排序”的思想：减而治之

“选择排序”的思想说起来是很简单的，就是把一个问题划分成两个部分：

1、其中一个部分是一个比原始问题小很多的，很容易解决的问题；

2、另一个部分是原始问题的一个子问题，与原始问题的区别就是，这个子问题比原问题看起来少了那么一些。

这就好比“愚公移山”，“移山”这个庞大的工程，在愚公看来，他每次一凿一斧头，虽然看起来微不足道，但是山就那么大，山上的石头不会越挖越多，每次挖一点，子子孙孙挖下去，山总会被挖完。“减而治之”就是这么一个朴素的思想。

应用于“选择排序”，即我们每一次把数组中的元素看一遍，找到一个最小的数，这个数就一定是排好序后放在第 1 个的数，那么我们在剩下的数里就继续找最小的数，一直这样做下去，每一轮看的数都比前一轮看的数的数量少 1，未排定的数会越来越少，直至没有。

这是一个很重要的思想，算法中的使用得“递归”正是“减而治之”的体现。

通过具体例子理解“选择排序”的思想

思想：不断地选择剩余元素之中的最小者。

“选择排序”算法的特点

1、每一轮交换都能排定一个元素，交换的总次数是固定的；

说明：“交换的总次数”等于“元素的总数 - 1”，因此算法的时间复杂度取决于比较的次数；

2、运行时间和输入无关，即：一个“已经有序”的数组、一个所有的元素都相等的数组、一个元素随机排列的数组所用的排序时间是一样的；

说明：后续我们会编写一些测试用例，比较不同的算法在不同的测试用例上的运行时间。这些测试用例中，就有以下 $3$ 种。

（1）一个“已经有序”的数组：例如：[4, 5, 6, 8, 9, 10]，以后我们学习的排序算法中，就有一种算法名叫“插入排序”就能检测出数组是不是有序的，极端情况下，“插入排序”算法看一遍数组中的元素，就知道数组已经有序了，后续就什么都不用做了。而“选择排序”得一遍又一遍看数组的元素好几遍，“几乎是”有多少个数，就会看数组多少遍，每一遍选出当前没有排定元素中的最小者；

（2）一个所有的元素都相等的数组，例如：[6, 6, 6, 6, 6, 6]；

（3）一个元素随机排列的数组，就是我们一般意义下，杂乱无序的数组，例如：[8, 18, 10, 6, 5, 4, 20]。

3、数据移动是最少的。

这点应该说是“选择排序”的优点了，如果我们的排序任务对交换操作非常敏感，不妨考虑“选择排序”。

例如：我们待排序的是码头上的集装箱，交换集装箱的成本是很高的，此时“选择排序”就是最好的选择。

小贴士：这一部分内容不需要记住，等到后面接触了“插入排序”、“归并排序”、“快速排序”等其它排序算法以后，再与“选择排序”进行比较，就不难理解了。

“选择排序”算法实现

Python 实现1：

def swap(nums, idx1, idx2):
    if idx1 == idx2:
        return
    temp = nums[idx1]
    nums[idx1] = nums[idx2]
    nums[idx2] = temp
def select_sort(nums):
    """
    选择排序，记录最小元素的索引，最后才交换位置
    :param nums:
    :return:
    """
    l = len(nums)
    for i in range(l):
        min_index = i
        for j in range(i + 1, l):
            if nums[j] < nums[min_index]:
                min_index = j
        swap(nums, i, min_index)

说明：交换两个数组中的元素，在 Python 中有更简单的写法，这是 Python 的语法糖，其它语言中是没有的。

Python 实现2：主体部分和“Python 实现1”是一样的。

def select_sort(nums):
    """
    选择排序，记录最小元素的索引，最后才交换位置
    :param nums:
    :return:
    """
    l = len(nums)
    for i in range(l):
        min_index = i
        for j in range(i + 1, l):
            if nums[j] < nums[min_index]:
                min_index = j
        nums[i], nums[min_index] = nums[min_index], nums[i]

这就是“选择排序”算法。

如果你看到自己编写的程序不正确，可以在程序中增加打印输出，帮助你调试程序：

时间复杂度与空间复杂度

时间复杂度：$O(n^2)$

分析：第 1 轮要看 $n$ 个元素；

第 2 轮要看 $n-1$ 个元素；

第 3 轮要看 $n-2$ 个元素；

……

第 $n$ 轮要看 $1$ 个元素；

对它们求和，用等差数列的通项公式。不过其实你也不用计算它，“时间复杂度”的计算我们只看次数最高的，所以“选择排序”是平方时间复杂度。

空间复杂度：$O(1)$

分析：我们在交换两个数组元素位置的时候，使用了 $1$ 个辅助的空间。

热身练习

是不是觉得很简单，后面难度会一点一点加上来。此时，我们不妨做一些热身的练习，我们后面会用到。这些练习只是减轻一点我们后面编写测试用例的工作量，自己设计函数参数就好。

练习1：编写三个函数，分别生成上文中提到的 $3​$ 种类型的数组，要求能够自定义生成数组的大小，这样我们以后编写测试用例的时候，就可以使用这些函数了。

练习2：编写一个函数，判断一个数组是否是升序排序。这个函数用于判断我们的算法是否正确。

补充知识

以下补充的知识是针对零基础的朋友们的，因为我也是零基础过来的，觉得这些东西可以说一下。

1、交换两个变量的值

交换两个变量的值，在排序中是常见的操作，并且也是程式化的，特别好记。先给出 Java 的写法，再给出 Python 的写法，最后给出“不是人的写法”。

Java 写法：

int temp = a;
a = b;
b = temp;

说明：这段代码其实很好理解，要交换两个变量的值，给要让变量 a 把位置让出来，即 int temp = a，然后把另一个变量 b 的值复制给 a，即 a = b，最后把之前 a 放在 temp 里的值赋给 b。这么说比较拗口，但其实我每次写这段代码的时候，都不用想这个过程的。因为这段代码有规律可循：首先引入一个辅助变量 temp，这是必要的，然后就开始“首尾相接”了，你们看一下，是不是这个特点，最后接回 temp，记住这个规律就可以了。在 Python 中是这样写的：

Python 写法1：

temp = a
a = b
b = temp

不过，Python 是一门神奇的编程语言，它提供了语法糖。

使用 Python 语法糖交换两个变量的值

a, b = b, a

就可以交换两个变量的值，不妨动手验证一下：

是不是很酷，Python 的写法有的时候更像伪代码，更符合人的思维，但我没有说 Python 更好的意思。其实 Python 解释器在后台也是引入了辅助变量完成两个变量的交换。其实，交换两个变量的值，有更高效的做法，下面给出两个交换变量的代码，这两种方法都不用引入辅助变量，相信聪明的你一定不难理解。

基于加减法交换两个变量的值

基于异或运算交换两个变量的值

这里利用到了异或运算的特点：异或运算可以理解成不进位的加法。那么一个数两次异或同一个数，就和原来的数相等。上面基于异或运算交换两个变量的值就利用这个性质。如果你还不熟悉异或运算，不妨查阅一些资料。

2、Java 和 Python 语言中比较器的实现

前面我们说到了，我们为了突出排序算法的思想，将所有的例子仅限在数组排序中。事实上 Java 和 Python 这些面向对象的编程语言都支持对象的排序，只要给它们定义相应的比较规则即可。有两种方式，Python 和 Java 都是支持的：

（1）为对象添加用于比较的函数

• 在 Python 中，有一个魔法函数，实现它即可：

def __cmp__(self, other):
    pass

定义这个魔法函数，就可以使用对象集合进行排序了。

• 在 Java 中，实现 Comparable 接口中的 compareTo 方法。

如果你觉得给对象添加用于比较的函数，这种做法的侵入性比较强（因为修改了类），那么你可以在排序的方法中，传入比较规则。

（2）在排序的方法中，传入比较规则

• 在 Python 中，比较规则可以通过 lambda 表达式传入：

• 在 Java 中，可以传入一个实现了 Comparator 接口的对象。

3、注意到我们每一轮都要在剩下没有排定的数中，找到一个最小的数，我们都会把剩下的数看一遍，以后我们会接触到一个很常用的数据结构，叫“最小堆”，“最小堆”可以很快地告诉我们一个集合中的最小者，于是“选择排序” + “堆”就成为了“堆排序”。

（完）