流动控制方程

CFD

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1. 一般形式

流体控制方程包括连续方程、动量方程和能量方程，分别对应质量守恒、牛二和能量守恒三大定律。这里只列举守恒形式的控制方程。

1.1 连续方程

守恒形式的连续方程为

$$\begin{equation} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \left( \rho \mathbf{U} \right) = 0. \label{eq_continuity_conservative} \end{equation}$$

1.2 动量方程

守恒形式的动量方程为

$$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t} \left( \rho \mathbf{U} \right) + \nabla \cdot \left( \rho \mathbf{U} \mathbf{U} \right) = - \nabla p + \nabla \cdot \overset{=}{\tau} + \mathbf{f}_b. \label{eq_momentum_conservative} \end{equation}$$
其中，$\overset{=}{\tau}$为粘性应力张量，具体表达式为
$$\begin{equation} \overset{=}{\tau} = \mu \left[ \nabla \mathbf{U} + \left( \nabla \mathbf{U} \right)^T \right] + \lambda \left( \nabla \cdot \mathbf{U} \right) \overset{=}{I}. \label{eq_viscous_stress_tensor} \end{equation}$$

对于牛顿流体的体积粘性系数$\lambda$与粘性系数$\mu$具有如下关系

$$\lambda = - \frac{2}{3} \mu.$$

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2. 不可压流动控制方程

方程$\eqref{eq_continuity_conservative}$和$\eqref{eq_momentum_conservative}$可以应用于任意流动，对于不可压流动，可以进一步简化。

2.1 不可压连续方程

不可压流动中，密度$\rho$的物质导数为0，即

$$\frac{D \rho}{D t} = 0,$$
因此有
$$\begin{aligned} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \left( \rho \mathbf{U} \right) & = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \left( \mathbf{U} \cdot \nabla \right) \rho + \rho \left( \nabla \cdot \mathbf{U} \right) \\ & = \frac{D \rho}{D t} + \rho \left( \nabla \cdot \mathbf{U} \right) \\ & = \rho \left( \nabla \cdot \mathbf{U} \right) \\ & = 0, \end{aligned}$$
最后得到
$$\begin{equation} \nabla \cdot \mathbf{U} = 0. \label{eq_continuity_incompressible} \end{equation}$$

2.2 不可压动量方程

根据不可压连续方程$\eqref{eq_continuity_incompressible}$，粘性应力张量$\overset{=}{\tau}$可以进行如下简化

$$\begin{aligned} \overset{=}{\tau} & = \mu \left[ \nabla \mathbf{U} + \left( \nabla \mathbf{U} \right)^T \right] + \lambda \left( \nabla \cdot \mathbf{U} \right) \overset{=}{I} \\ & = \mu \left[ \nabla \mathbf{U} + \left( \nabla \mathbf{U} \right)^T \right], \end{aligned}$$

因此

$$\begin{aligned} \nabla \cdot \overset{=}{\tau} & = \nabla \cdot \left\lbrace \mu \left[ \nabla \mathbf{U} + \left( \nabla \mathbf{U} \right)^T \right] \right\rbrace \\ & = \nabla \cdot \left( \mu \nabla \mathbf{U} \right) + \nabla \mathbf{U} \cdot \nabla \mu + \mu \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{U} \right) \\ & = \nabla \cdot \left( \mu \nabla \mathbf{U} \right) + \nabla \mathbf{U} \cdot \nabla \mu. \end{aligned}$$

最后，适用于不可压流动的动量方程为

$$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t} \left( \rho \mathbf{U} \right) + \nabla \cdot \left( \rho \mathbf{U} \mathbf{U} \right) = - \nabla p + \nabla \cdot \left( \mu \nabla \mathbf{U} \right) + \nabla \mathbf{U} \cdot \nabla \mu + \mathbf{f}_b. \label{eq_momentum_incompressible} \end{equation}$$

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作者：戴得志